1 случай ВТФ n=7

[ishhan]

И ещё пример по поводу ВТФ эквивалентных уравнений, в которых помимо основных фигурантов ВТФ, а именно пресловутых трёх букв x,y,z, достойное и равноправное со всеми место, занимают числа
$-x-y-z$

$-s-y-z$

$-x-s-z$

$-x-y-s$

представляющие собой простейшую симметрическую форму первой степени уже конкретно напоминающее неприличное слово ...
уравнению $x^n+y^n+z^n=0$ будет соответствовать $s^n=(-x-y-z)^n=n\cdot{V^3(x,y,z,s)}\cdot{V^{n-3}(x,y,z,s)}$

2)уравнению $x^n+y^n+s^n=0$ будет соответствовать $z^n=(-x-y-s)^n=n\cdot{V^3(x,y,z,s)}\cdot{V^{n-3}(x,y,z,s)}$

3)уравнению $x^n+z^n+s^n=0$ будет соответствовать $y^n=(-x-z-s)^n=n\cdot{V^3(x,y,z,s)}\cdot{V^{n-3}(x,y,z,s)}$

4)уравнению $z^n+y^n+s^n=0$ будет соответствовать $x^n=(-y-z-s)^n=n\cdot{V^3(x,y,z,s)}\cdot{V^{n-3}(x,y,z,s)}$
Так всё ещё лучше видно, и в частности то что значение "тринома" приравнивается "квадраному":

$$(x+y+z+s)^n-x^n-y^n-z^n-s^n=n\cdot{V^3(x,y,z,s)}\cdot{V^{n-3}(x,y,z,s)}$$

Так как, в случае $x+y+z+s=0$, такое разложение имеет полное право на существование.
Важно отметить, что в случае переменных больше трёх подобные формы, называемые "ноль характеристики n от k переменных" не разлагаются на алгебраические множители.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Di ... rs&x=5&y=5
Тут можно тоже покопаться.

[ishhan]

Оставим в покое $V^{n-3}(x,y,z,s)$, ведь есть форма степени 3 симметрическая от трёх и четырёх переменных одновременно $V^3(x,y,z,s)$

$$V^3(x,y,z,s)=(s+x)(s+y)(s+z)$$

Продемонстрируем на примере ВТФ n=3.
Уверен, что все любители ВТФ знают тождество:

$$(x_1+y_1-z_1)^3-x_1^3-y_1^3+z_1^3=3(z_1-x_1)(z_1-y_1)(x_1+y_1)$$

Переобозначим переменные:

не меняем $x=x_1$

не меняем $y=y_1$

меняем с полным правом знак на минус$z=-z_1$, ведь показатель степени $n=3$

Тогда получим тождество в виде $s^3+x^3+y^3+z^3=3(z+x)(z+y)(x+y)$,
Введём четвёртую переменную $s=-x-y-z$ и в окончательном виде получим:

$$s^3+x^3+y^3+z^3=3(s+x)(s+y)(s+z)$$

Сейчас очень хорошо видно, что с двух сторон равенства стоят симметрические от четырёх переменных формы степени 3.
Поскольку три числа из четырёх произвольны, а все четыре связаны соотношением $s+x+y+z=0$ то, как я уже упоминал в предыдущем посте для $n=7$ будем иметь четыре равенства эквивалентных уравнению Ферма:


1) уравнению $x^3+y^3+z^3=0$ будет соответствовать $s^3=(-x-y-z)^3=3\cdot(s+x)(s+y)(s+z)$

2)уравнению $x^3+y^3+s^3=0$ будет соответствовать $z^3=(-x-y-s)^3=3\cdot(s+x)(s+y)(s+z)$

3)уравнению $x^3+z^3+s^3=0$ будет соответствовать $y^3=(-x-z-s)^3=3\cdot(s+x)(s+y)(s+z)$

4)уравнению $z^3+y^3+s^3=0$ будет соответствовать $x^3=(-y-z-s)^3=3\cdot(s+x)(s+y)(s+z)$

Общим смыслом для всех четырёх уравнений будет то, что мы приравниваем симметрическую форму от трёх переменных стоящую в левой части 1)-4), а именно, сумму трёх переменных с обратным знаком в третьей степени, симметрической форме степени три от четырёх переменных и от трёх тоже, что немаловажно.
И теперь делители симметрической формы степени 3 от четырёх переменных уже не входят в противоречие с условием:

$$a^4\equiv{1modQ}$$

$$a^3\not\equiv{1modQ}$$

Которое я уже приводил ранее.
Поэтому, у формы симметрической от четырёх переменных $(s+x)(s+y)(s+z)$,
всегда будет делитель $Q$ не входящий в канонические разложения переменных $x^3=(-y-z-s)^3,y^3=(-x-z-s)^3,...$ представленных формами симметрическими всего лишь от трёх переменных и только.
Это то же самое что приравнять два числа $a=b$
$a$-число обладает признаком делимости на 5 и не обладает признаком делимости на 3
$b$-число обладает признаком делимости на 5 и на 3.
Строгое доказательство, конечно это уже дело техники, но идея то проста и понятна даже школьникам старших классов.
А самое интересное то, что все остальные простые показатели доказываются так же и нет разделения на первый и второй случай.
Так в тождестве для любого простого показателя $n$ имеется форма $(s+x)(s+y)(s+z)$
Так что 1случай ВТФ 7 сводится к самому простому ВТФ3, если поверить приведённым выше фактам.