Ряд Лорана.

[samson4747]

Пример $\mathbf{1^\circ.}$

Правильно?
$f(z)=\dfrac{ze^z}{z-1}$ требуется разложить в окрестности точки $z_0=1$, в ряд Лорана.
$f(z)=\dfrac{1}{z-1}\bigl(1+\left(z-1\right)\bigr)e^{\bigl(1+\left(z-1\right)\bigr)}=\dfrac{1}{z-1}ee^{z-1}+ee^{z-1}= \qquad=e\bigl(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(z-1\right)^{n-1}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(z-1\right)^{n}}{n!}\bigr)=\sum\limits_{n=-1}^{+\infty}\dfrac{e}{(n+1)!}\left(z-1\right)^{n}+\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e}{n!}\left(z-1\right)^{n}= \qquad=\dfrac{e}{z-1}+\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e}{n!}\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)(z-1)^n;\ (z-1)\in\mathbb C\setminus\{1\}$.

Пример $\mathbf{2^\circ.}$

В чём я заблуждаюсь?
$f(z)=z^3e^\displaystyle{1/z}$ требуется разложить в окрестности точки $z_0=0\text{\ и\ }z_0=\infty$, в ряд Лорана. Так как $e^\displaystyle{z}$ имеет разложение в ряд при $z\in\mathbb C$, то мне кажется что при точках $z_0=0\text{\ и\ }z_0=\infty$ будет одинаковое такое разложение:

$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}\dfrac{1}{z^\displaystyle{n-3}}=||k=n-3||=\sum\limits_{k=-3}^{+\infty}\dfrac{1}{(k+3)!}\dfrac{1}{z^\displaystyle{k}},\ z\in\mathbb C\setminus{0}$

[samson4747]

Вопрос закрывается разобран.
Если вдруг кому потребуется, то решение правильное.