Преобразование Фурье для Гауссова пучка (взять интеграл)

[H-farrier]

При попытке вычислить преобразование Фурье для Гауссова пучка, вылезает такой интеграл:
$I(\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\cos\alpha xdx$.
Подскажите, берется ли он аналитически?

[SakumaRei]

Разумеется. Проинтегрируйте по частям, "сделав" в интеграле вместо косинуса - синус. А потом заметьте, что если исходный интеграл продифференцировать по альфа, то получится что-то очень напоминающее то, что у вас получилось после интегрирования по частям.

[ewert]

Или просто свести к интегралу Пуассона заменой $z=x-\frac{i}2$, но тут нужна ТФКП. Впрочем, а там нужны дифуры...

[H-farrier]

Спасибо, все очень просто.
А как через ТФКП взять такой интеграл:
$\int\limits_{-\infty-\frac{i}{2}}^{+\infty-\frac{i}{2}}e^{-z^2}dz$ ?

[ewert]

H-farrier в сообщении #542898 писал(а):

А как через ТФКП взять такой интеграл:
$\int\limits_{-\infty-\frac{i}{2}}^{+\infty-\frac{i}{2}}e^{-z^2}dz$ ?

Он попросту равен интегралу по вещественной оси. Поскольку если рассмотреть контур в виде очень длинного прямоугольника с верхним основанием на Вашей линии и нижнем на вещественной оси, то при уводе его вертикальных стенок на плюс и на минус бесконечность интегралы по этим стенкам будут стремиться к нулю. Ну а по всему контуру интеграл равен нулю в силу аналитичности.

[profrotter]

$$I(\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\cos\alpha xdx=\operatorname{Re}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}e^{-i\alpha x}dx=$$

$$=\operatorname{Re}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2-2i\frac {\alpha}{2}x}dx=\operatorname{Re}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+2i\frac {\alpha}{2}x+(i\frac{\alpha}{2})^2)}dx\cdot e^{(i\frac{\alpha}{2})^2}=$$

$$=e^{-\frac{\alpha^2}{4}}\operatorname{Re}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x+i\frac{\alpha}{2})^2}dx=e^{-\frac{\alpha^2}{4}}\operatorname{Re}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x+i\frac{\alpha}{2})^2}d(x+i\frac{\alpha}{2})=e^{-\frac{\alpha^2}{4}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=...$$

И вот на последнем шаге можно ли заглянуть в Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. - М.: Физматгиз, 1963, формула (8) на стр.10: $z+\infty=\infty$ и по аналогии при замене переменной пределы интегрирования установить $\pm\infty$ и быть уверенным, что поступил честно и обошёл ТФКП со всякими контурами?

[ИСН]

Можно, пока не попробуешь так сделать с нехорошей функцией и не получишь ржавый вычет себе в бок. А по-хорошему всё-таки надо...