Условный экстремум

[lampard]

Найти экстремум $u(x,y,z)=xy+yz$

При условиях

$x^2+y^2=2$

$y+z=2$

$x>0,y>0,z>0$

Функция Лагранжа:

$$L=xy+yz+\lambda_1(x^2+y^2-2)+\lambda_2(y+z-2)$$

$$\begin{cases} L'_x=y+2\lambda_1x\\ L'_y=x+z+2\lambda_1y+\lambda_2\\ L'_z=y+\lambda_2\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} y+2\lambda_1x=0\\ x+z+2\lambda_1y+\lambda_2=0\\ y+\lambda_2=0\\ x^2+y^2=2\\ y+z=2\\ \end{cases}$$

Эту систему не получается решить. Тут, вроде как можно подстановкой? Что лучше выразить и откуда и куда лучше подставить?

[bot]

Выразите параметры $\lambda_1, \lambda_2$ из первого и третьего уравнений и подставьте во второе. Дальше я бы исключил ещё $z$ и заменил переменные $x=\sqrt2\cos\varphi, y=\sqrt2\sin\varphi$ - это кстати можно было сделать с самого начала и обойтись без множителей Лагранжа.

[lampard]

bot в сообщении #542680 писал(а):

Выразите параметры $\lambda_1, \lambda_2$ из первого и третьего уравнений и подставьте во второе. Дальше я бы исключил ещё $z$ и заменил переменные $x=\sqrt2\cos\varphi, y=\sqrt2\sin\varphi$ - это кстати можно было сделать с самого начала и обойтись без множителей Лагранжа.

Спасибо. Можно так?

$x=\sqrt2\cos\varphi, y=\sqrt2\sin\varphi, z=2-\sqrt 2\sin\varphi$

Подставляем в $u(x,y,z)=xy+yz$

$$u(\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi+\sqrt 2\sin\varphi (2-\sqrt 2\sin\varphi)=\sin{2\varphi}+\sqrt 2\sin\varphi (2-\sqrt 2\sin\varphi)$$

$$u'(\varphi)=2\cos{2\varphi}+\sqrt 2\cos\varphi (2-\sqrt 2\sin\varphi)-2\cos\varphi\sin\varphi=2\cos{2\varphi}+2\sqrt 2\cos\varphi-4\cos\varphi\sin\varphi=$$

$$=2\cos{2\varphi}+2\sqrt 2\cos\varphi-2\sin{2\varphi}=2(\cos{2\varphi}-\sin{2\varphi})+2\sqrt 2\cos\varphi=2\cos({2\varphi}+\frac{\pi}{4})+2\sqrt 2\cos\varphi=$$

$$=2\Big(\cos({2\varphi}+\frac{\pi}{4})+\sqrt 2\cos\varphi\Big)$$

А что дальше делать или я неправильно что-то сделал?

[bot]

При сдвиге на $\pi/4$ потеряли множитель $\sqrt2$, а без него неуютно.

[lampard]

bot в сообщении #542949 писал(а):

При сдвиге на $\pi/4$ потеряли множитель $\sqrt2$, а без него неуютно.

Спасибо, точно ошибся. Тогда получается, что

$$=2\sqrt 2\Big(\cos({2\varphi}+\frac{\pi}{4})+\cos\varphi\Big)=4\sqrt 2 \cos\Big(\dfrac{3\varphi}{2}+\frac{\pi}{8}\Big)\cdot \cos\Big(\dfrac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{8}\Big)=0$$

$$ \left[ \begin{array}{ll} \frac{3\varphi}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n &\;\; n - \;\text{целое}\\ \frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi k &\;\; k - \;\text{целое}\\ \end{array} \right. $$

$$ \left[ \begin{array}{ll} \frac{3\varphi}{2}=\frac{3\pi}{8}+\pi n &\;\; n - \;\text{целое}\\ \frac{\varphi}{2}=\frac{3\pi}{8}+\pi k &\;\; k - \;\text{целое}\\ \end{array} \right. $$

$$ \left[ \begin{array}{ll} \varphi=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3} &\;\; n - \;\text{целое}\\ \varphi=\frac{3\pi}{4}+2\pi k &\;\; k - \;\text{целое}\\ \end{array} \right. $$

А как дальше? Не уж-то нужно методом интервалов по окружности расставлять знаки производных?

[alcoholist]

может, все-таки, обойдемся без пушки-Лагаранжа?

$$ x=\sqrt{2}\cos{t},\quad y=\sqrt{2}\cos{t},\quad z=2-\sqrt{2}\sin{t},\qquad t\in[0;\pi/2] $$

и подставляем в $u(t)$

[lampard]

alcoholist в сообщении #542989 писал(а):

может, все-таки, обойдемся без пушки-Лагаранжа?

$$ x=\sqrt{2}\cos{t},\quad y=\sqrt{2}\cos{t},\quad z=2-\sqrt{2}\sin{t},\qquad t\in[0;\pi/2] $$

и подставляем в $u(t)$

Спасибо. Именно это мне и посоветовал bot.

Его советом я воспользовался в следующем сообщении. А почему $t\in[0;\pi/2]$?

Я уж для всех $t$ писал.

Вот тот круг, о котором я писал в предыдущем сообщении.

[lampard]

Все получилось в точке $(1,1,1)$ максимум, только остался один вопрос. Почему $t\in[0;\pi/2]$?

Ну или в других обозначениях $\varphi\in[0;\pi/2]$?

[bot]

Вы ищете экстремум где? На пространственной кривой, заданной пересечением двух поверхностей (цилиндра и плоскости). Указанной подстановкой кривая параметризуется. Если бы не было ограничений в виде неравенств, то для описания всей кривой достаточно было бы взять любой промежуток длины $2\pi$, например $[ 0;2\pi )$. Неравенства вырезают из кривой её часть. Ну и смотрите, какая это часть.

[Yu_K]

Wolfram подтверждает полученный результат

[lampard]

bot в сообщении #543070 писал(а):

Вы ищете экстремум где? На пространственной кривой, заданной пересечением двух поверхностей (цилиндра и плоскости). Указанной подстановкой кривая параметризуется. Если бы не было ограничений в виде неравенств, то для описания всей кривой достаточно было бы взять любой промежуток длины $2\pi$, например $[ 0;2\pi )$. Неравенства вырезают из кривой её часть. Ну и смотрите, какая это часть.

Вот, нарисовал рисунок в paint (извините, что криво, как смог)



Но я все равно не понимаю - почему $[ 0;\pi/2 ]$. Из рисунка видно, что пересечение поверхностей - это сиреневый круг и $z\ge 0$. Поэтому из уравнения $y=2-z$ следует, что $y\ge 0$. Но откуда следует, что $x\ge 0$?

[bot]

По условию $x, y$ положительны, $z$ при этих ограничениях положительно автоматически.

-- Пн фев 27, 2012 18:02:08 --

lampard в сообщении #543141 писал(а):

Из рисунка видно, что пересечение поверхностей - это сиреневый круг

Не круг и даже не окружность,а эллипс.

[lampard]

bot в сообщении #543142 писал(а):

По условию $x, y$ положительны, $z$ при этих ограничениях положительно автоматически.

-- Пн фев 27, 2012 18:02:08 --

lampard в сообщении #543141 писал(а):

Из рисунка видно, что пересечение поверхностей - это сиреневый круг

Не круг и даже не окружность,а эллипс.

А по какому условию $x$ положителен? Я понимаю, что из условия $t\in [0,\pi/2]$ следует, что $x\ge 0$ и $y\ge 0$, но это ведь мы сами такое придумали условие $t\in [0,\pi/2]$.

Проекция эллипса на плоскость $xOy$ - это и есть окружность $x^2+y^2=2$. Из того, что $y\ge 0$ следует, что $t\in [0,\pi]$.

Почему же мы четверть окружности выбрасываем?

[bot]

Ну Вы даёте! По условию не только $y>0$, но и $x>0$.

В какой четверти одновременно положительны синус и косинус?

[lampard]

bot в сообщении #543147 писал(а):

Ну Вы даёте! По условию не только $y>0$, но и $x>0$.

В какой четверти одновременно положительны синус и косинус?

В первой, я это понимаю. Вопрос другом. Из какого условия следует, что $x\ge 0$?

Только не говорите, что из $t\in [0;\frac{\pi}{2}]$. Ведь доказать, что $t\in [0;\frac{\pi}{2}]$ и доказать, что $x\ge 0$ и $y\ge 0$ -- это одно и тоже. Как мы можем доказать, что $x\ge 0$?

(Оффтоп)

===============

P.S. Mогу сказать $t\in [\frac{\pi}{2};\pi]$ => $x\le 0$ и $y\ge 0$ и $z\ge 0$

Это следует из условия. Значит $t\in [\frac{\pi}{2};\pi]$.