Поле

[MagzhanZ]

Здравствуйте! Что такое $Q(\sqrt2+\sqrt3)$?
$Q(\sqrt2)$ - это a+b\sqrt2\
Это получается по аналогии? Типа a\sqrt2\+b\sqrt3\?

[Joker_vD]

$\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)$ — это наименьшее подполе $\mathbb R$, содержащее $\mathbb Q$ и $\sqrt2+\sqrt3$.

Оно явно описывается как $\{a+b\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\in\mathbb R\mid a,b\in\mathbb Q\}$. Нетрудно видеть, что это множество — подполе $\mathbb R$, оно содержит $\mathbb Q$, оно содержит $\sqrt2+\sqrt3$, а теперь сообразите, почему оно наименьшее подполе с таким свойством.

(Оффтоп)

P.S. Никогда не понимал, почему рядом с записью $F(a)$ ленятся указать, во что вложено $F$...

[hippie]

Joker_vD в сообщении #542627 писал(а):

Оно явно описывается как $\{a+b\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\in\mathbb R\mid a,b\in\mathbb Q\}$. Нетрудно видеть, что это множество — подполе $\mathbb R$.

Может быть у меня что-то со зрением , но мне это увидеть трудно.
Особенно трудно увидеть, какими должны быть $a,b \in \mathbb Q,$ чтобы выполнялось равенство $a+b\left(\sqrt 2 + \sqrt 3 \right) = \sqrt 3 - \sqrt 2 \left(= \frac 1{\sqrt 2 + \sqrt 3} \right).$

Минимальный многочлен (над $\mathbb Q$) числа $\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)$ имеет четвёртую степень, и, следовательно, минимальное поле (и даже минимальное кольцо) содержащее $\mathbb Q$ и $\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)$ является четырёхмерным линейным пространством над $\mathbb Q.$
Элементы этого поля записываются в виде:
$a+b\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)+c\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)^2+d\left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)^3 ,$ где $a,b,c,d \in \mathbb Q.$
Но можно записать и проще:
$a+b \sqrt 2 + c \sqrt 3 + d \sqrt 6 ,$ где $a,b,c,d \in \mathbb Q.$

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Когда же я научусь проверять деление? Надеюсь, всего через несколько таких щелчков по носу.

hippie
Да, да, это лишь подгруппа по сложению

MagzhanZ
Пропустите мой пост не читая и прочтите пост hippie.

[nnosipov]

hippie в сообщении #542666 писал(а):

Минимальный многочлен (над $\mathbb Q$) числа $\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)$ имеет четвёртую степень

Пусть MagzhanZ не забудет это аккуратно доказать (вполне содержательное упражнение).

[AKM]

MagzhanZ,

Здесь рассказано, как набирать формулы. Ваше

...это a+b[math]\sqrt2\[/math]
...Типа a[math]\sqrt2\[/math]+b[math]\sqrt3\[/math]

должно было выглядеть так:

...это $a+b\sqrt2$
...Типа $a\sqrt2+b\sqrt3$

[MagzhanZ]

Я тут новенький, поэтому извините меня за вопрос. А какая разница?

[AKM]

Прилично набранные формулы --- требование Правил форума.
Прилично --- значит в соответствии с общепринятыми традициями набора формул, изначально заточенными на облегчение чтения математических текстов, и давно ставшими элементом математической культуры. Ни в одной приличной книге, даже старой, Вы не найдёте чего-то вроде sinx+cosy или $sinx+cosy$. Везде будет $\sin x+\cos y$. Неправильный набор режет глаза, примерно как фальшь в музыке режет уши, или как грамотические ашипки режут мозги.

Будем считать, что Вы этого пока не чувствуете. Я тоже кой-чего не чувствую и поэтому не хожу, например, на футбольные форумы и матчи. Мне абсолютно безразлично, забил ли он ногой, головой, или рукой.

[MagzhanZ]

nnosipov в сообщении #542687 писал(а):

hippie в сообщении #542666 писал(а):

Минимальный многочлен (над $\mathbb Q$) числа $\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)$ имеет четвёртую степень

Пусть MagzhanZ не забудет это аккуратно доказать (вполне содержательное упражнение).

Пусть $x=\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)$. Тогда $x^4-10x^2+1=0$
А как теперь доказать неприводимость? Перемножив любые два или три множителя в разложении многочлена? Критерий Эйзенштейн не работает вроде, даже при линейной замене(

-- Вс фев 26, 2012 16:02:00 --

AKM в сообщении #542718 писал(а):

Прилично набранные формулы --- требование Правил форума.
Прилично --- значит в соответствии с общепринятыми традициями набора формул, изначально заточенными на облегчение чтения математических текстов, и давно ставшими элементом математической культуры. Ни в одной приличной книге, даже старой, Вы не найдёте чего-то вроде sinx+cosy или $sinx+cosy$. Везде будет $\sin x+\cos y$. Неправильный набор режет глаза, примерно как фальшь в музыке режет уши, или как грамотические ашипки режут мозги.

(Оффтоп)

Ясно) Будем соблюдать правила. Мне самому иногда не нравится.

[nnosipov]

MagzhanZ в сообщении #542720 писал(а):

А как теперь доказать неприводимость? Перемножив любые два или три множителя в разложении многочлена?

Достаточно доказать, что равенство $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}=0$, где $a$, $b$, $c$, $d$ рациональны, возможно только при $a=b=c=d=0$.

[MagzhanZ]

hippie в сообщении #542666 писал(а):

Joker_vD в сообщении #542627 писал(а):

Оно явно описывается как $\{a+b\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\in\mathbb R\mid a,b\in\mathbb Q\}$. Нетрудно видеть, что это множество — подполе $\mathbb R$.

Может быть у меня что-то со зрением , но мне это увидеть трудно.
Особенно трудно увидеть, какими должны быть $a,b \in \mathbb Q,$ чтобы выполнялось равенство $a+b\left(\sqrt 2 + \sqrt 3 \right) = \sqrt 3 - \sqrt 2 \left(= \frac 1{\sqrt 2 + \sqrt 3} \right).$

Минимальный многочлен (над $\mathbb Q$) числа $\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)$ имеет четвёртую степень, и, следовательно, минимальное поле (и даже минимальное кольцо) содержащее $\mathbb Q$ и $\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)$ является четырёхмерным линейным пространством над $\mathbb Q.$
Элементы этого поля записываются в виде:
$a+b\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)+c\left( \sqrt 2 +\sqrt 3 \right)^2+d\left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)^3 ,$ где $a,b,c,d \in \mathbb Q.$
Но можно записать и проще:
$a+b \sqrt 2 + c \sqrt 3 + d \sqrt 6 ,$ где $a,b,c,d \in \mathbb Q.$

А почему из того что минимальный многочлен четвертой степени следует, что минимальной поле четырехмерное?

[Joker_vD]

MagzhanZ в сообщении #542795 писал(а):

А почему из того что минимальный многочлен четвертой степени следует, что минимальной поле четырехмерное?

Потому что если $\deg f(x)=n$, то базисом пространства $k[x]/(f(x))$ над $k$ являются многочлены $1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}$: $g(x)=h(x)f(x)+r(x)\equiv r(x)$, где $\deg r(x)<n$, поэтому $r(x)=r_0+r_1x+r_2x^2+\ldots+r_{n-1}x^{n-1}$.

nnosipov
А для этого достаточно доказать, что $\sqrt6$ — иррационально?

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #542802 писал(а):

А для этого достаточно доказать, что $\sqrt6$ — иррационально?

Здесь желательно не спрятать основную причину. Нужно доказать, что $\sqrt{3} \not\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, а это сводится к иррациональности $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{6}$. Общее утверждение таково: если $\sqrt{a_1}$, $\dots$, $\sqrt{a_n}$ мультипликативно независимы над $\mathbb{Q}$ (т.е. любое произведение нескольких из них $\not\in \mathbb{Q}$), то степень расширения $\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\dots,\sqrt{a_n})$ над $\mathbb{Q}$ равна $2^n$.

[Joker_vD]

Ну да, $\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2)(\sqrt3)$. Занимательный способ проверки многочленов на неприводимость.