Задача на законы распределения случайных величин (ТВ)

[casino409]

Случайная величина $X$ равномерно распределена в интервале $[0, 1]$.
Определить плотность вероятности случайной величины $Y$, если:
a) $X = \frac 1 2 [1+ {\frac{2}{\sqrt{2\pi}}} {\int\limits_{0}^{Y} e^{-\frac {t^2} {2}} dt}]$

в другом случае:
b) $X = \frac 1 2 [1+ {\frac{2}{\sqrt{2\pi}}} {\int\limits_{0}^{\frac{Y-\overline{y}}{\sigma_y}} e^{-\frac {t^2} {2}} dt}]$

Решение:
На сколько я понимаю общий ход решения таков:
1) найти $\varphi: Y = \varphi(X) $
2) $f_y (y) = f_x (\varphi(y))|\varphi'(y)|$, где $f_y (y) - плотность вероятности случ. величины$

Собственно проблема стоит еще на первом шаге - найти $\varphi$, тут же не интеграл Пуассона...

[PAV]

Здесь явно напрашивается использование одного известного свойства: если $F(y)$ есть непрерывная функция распределения, и $Y$ - случайная величина, имеющая именно это распределение, то случайная величина $X=F(Y)$ имеет равномерное распределение на $[0,1]$

[casino409]

Так это по условию "$X$ равномерно распределена на интервале $[0, 1].$"

[PAV]

Ну так и у меня так же.

Представьте свою $X$ в виде $X=F(Y)$ (собственно, она в этом виде уже представлена), затем покажите, что написанная функция $F$ является функцией распределения, а затем скажите, что если мы возьмем $Y$ распределенной именно по этому закону, то $X$ получится как раз таким, как нам нужно. Останется только по функции распределения найти плотность. Судя по формулировке задачи, именно такое решение и подразумевается.

Если Вам не нравится такой "неявный" ход, то можно сделать ровно то же самое, но явно: из равенства $X=F(Y)$ получить $Y=F^{-1}(X)$ (причем эту обратную функцию в данном случае не нужно выписывать явно), а затем доказать или воспользоваться свойством, что если в этом равенстве $F$ является ф.р., а $X$ имеет то распределение, которое дано, то с.в. $Y$ будет иметь в точности ф.р. $F$. Это общий факт, верный для любых ф.р.

[casino409]

Благодарю.