2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Жорданов базис
Сообщение20.12.2006, 01:46 


04/12/06
70
Ищу жорданов базис для матрицы $$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\
-4&4&0\\
-2&1&2
\end{pmatrix}$$
Собственное число одно: $\lambda=2$ с алгебраической кратностью 3. Геометрическая кратность этого числа равна 2, так как ему соответствует два собственных вектора:
$$e_1=\begin{pmatrix}
1/2\\
1\\
0
\end{pmatrix}$$ и
$$e_2=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}$$
Жорданову форму найти-то легко. Раз геометрическая кратность равна 2, то будет две жордановы клетки, то есть ЖНФ имеет вид:$$J=\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&2&0\\
0&0&2\\
\end{pmatrix}$$
А потом я хочу найти матрицу перехода. Ищу её через присоединенные вектора. Для вектора, например, $e_1$, присоединенным (первого порядка) будет такой вектор $h_1$, что $(A-\lambda E)h_1=e_1$. Для вектора $e_2$ аналогично. Присоединенные вектора вместе с собственными образуют жорданов базис. Но проблема в том, что ни один из найденных собственных векторов не имеет присоединенных. Как быть?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2006, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Можно взять
$$e_1=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$
Он имеет присоединенный вектор.

Добавлено спустя 9 минут 28 секунд:

Я линейную алгебру ужо забыл, но разве вектора ищутся не в обратном порядке, т.е. начиная с присоединенных?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2006, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Дело в том, что не любые собственные векторы годятся. Нужны те, которые лежат в двумерном инвариантном подпространстве, соответствующем жордановой клетке.

Вы можете взять уравнение $(A-\lambda E)\vec h_1=\vec e_1+t\vec e_2$ с неизвестным $t$, либо взять уравнение $(A-\lambda E)^2\vec h=\vec 0$, а потом переопределить $\vec e_1=(A-\lambda E)\vec h_1$, выбрав $h_1$ среди решений предыдущего уравнения так, чтобы получился ненулевой вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданов базис
Сообщение20.12.2006, 20:07 


21/10/06
24
Maximum писал(а):
Ищу жорданов базис для матрицы $$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\
-4&4&0\\
-2&1&2
\end{pmatrix}$$
Собственное число одно: $\lambda=2$ с алгебраической кратностью 3. Геометрическая кратность этого числа равна 2, так как ему соответствует два собственных вектора:
$$e_1=\begin{pmatrix}
1/2\\
1\\
0
\end{pmatrix}$$ и
$$e_2=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}$$
Жорданову форму найти-то легко. Раз геометрическая кратность равна 2, то будет две жордановы клетки, то есть ЖНФ имеет вид:$$J=\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&2&0\\
0&0&2\\
\end{pmatrix}$$
А потом я хочу найти матрицу перехода. Ищу её через присоединенные вектора. Для вектора, например, $e_1$, присоединенным (первого порядка) будет такой вектор $h_1$, что $(A-\lambda E)h_1=e_1$. Для вектора $e_2$ аналогично. Присоединенные вектора вместе с собственными образуют жорданов базис. Но проблема в том, что ни один из найденных собственных векторов не имеет присоединенных. Как быть?


$$B=\begin{pmatrix} -2&1&1\\
-4&0&2\\
-2&0&0
\end{pmatrix}$$

$$B^{-1} = \begin{pmatrix} 0&0&-1/2\\
1&-1/2&0\\
0&1/2&-1
\end{pmatrix}$$

C=\begin{pmatrix} 2&1&0\\
0&2&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}$$

B^{-1}*A*B = C

Откуда следует Жорданов базис

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group