Комплексное проективное по сфере

[Bulinator]

(Oleg Zubelevich)

Дискутировать с Вами и, более того, доказывать мотивированность моей работы у меня нет никакого желания. Считаете это глупостью? Ради Бога. Но, т.к. при отсутствии понимания чего-то в Вас просыпается откровенное хамство, впредь я буду игнорировать все Ваши посты.

alcoholist в сообщении #543491 писал(а):

Кстати, само расслоение Вы не описали:)

Bulinator в сообщении #506629 писал(а):

Рассмотрим $\mathbb{C}^{2n}\simeq\mathbb{H}^n$ с комплексными координатами $\lambda_k$, $k=1,...,2n$ или
кватернионными $v_i=\lambda_{2i-1}+j\lambda_{2i}$, $i=1,...,n$.
Тогда координаты на $\mathbb{H}P^{n-1}$ определяются по формуле
$q_\alpha=v_\alpha v_n^{-1}\equiv v_\alpha \frac{\bar v_n}{v_n\bar v_n}$, $\alpha=1,...,n-1$
Запишем $v_\alpha=q_\alpha v_n=q_\alpha(\lambda_{2n-1}+j\lambda_{2n})=\lambda_{2\alpha-1}+j\lambda_{2\alpha}$.
Поделим последнее равенство на $\lambda_{2n}$. Получим
$q_\alpha(z_{2n-1}+j)=z_{2\alpha-1}+j z_{2\alpha}$. Тут я ввел координаты на $\mathbb{C}P^{2n-1}$ $z_k=\lambda_k/\lambda_{2n}$.
С одной стороны $z_{2n-1}$ есть просто координата на $\mathbb{C}P^{2n-1}$ а с другой, если рассматривать $(\lambda_{2n-1},\lambda_{2n})$ как отдельное $\mathbb{C}^2$, то оно же является координатой на $\mathbb{C}P^1\simeq S^2$.
Таким образом, определив преобразование $z_{2n-1}=u$ получим:
$q_\alpha(u+j)=z_{2\alpha-1}+j z_{2\alpha}$, $u=z_{2n-1}$ и расслоение
$\mathbb{C}P^{2n-1}/S^2\simeq \mathbb{H}P^{n-1}$ с $n\geq 2$

Собственно, функции перехода очевидны из построения.

-- Вт фев 28, 2012 15:47:40 --

Кто ищет, тот всегда найдет!
http://arxiv.org/abs/0906.1025

[Bulinator]

Нет, не находит

[type2b]

В теме, на которую вы только что дали ссылку, я уже ответил, что это за расслоение: это проективизация тавтологического расслоения для $\mathbb{H}P^n$.
Далее, как уже сто раз тут обсуждалось, если есть фактор $G/H$, то изометрии будут представлены группой $G$. Проективное n-мерное пространство -- это пространство прямых в n+1 мерном пространстве, поэтому его можно представить как $U(n+1)/(U(n)\times U(1))$ (докажите). Унитарная группа тут для соответствующего поля. Для кватернионов получается $U(n+1,\mathbb{H})$, т.е. $Sp(n+1)$, как вам уже и написали выше.
У вас есть научный руководитель? Если это ваш ресерч, то почему вы все время спрашиваете на форуме? Так ничего путного у вас не напишется.

[Bulinator]

type2b, как всегда четко и ясно и прямо в точку. Спасибо!
Черт, черт и еще раз черт. Сколько времени торможу. Ведь alcoholist в первом сообщении написал этот косет. Я почему то(тут еще раз черт) думал о $Sp$ как о пространстве а не группе. Я тормоз!! :((((

type2b в сообщении #543626 писал(а):

докажите

Завтра, завтра. Иду спать.

type2b в сообщении #543626 писал(а):

У вас есть научный руководитель?

Он покинул меня на время и обрек на одиночество. О горе мне, горе(рыдаю)... Ну да ладно. Он скоро вернется и заживем мы как прежде

type2b в сообщении #543626 писал(а):

Если это ваш ресерч, то почему вы все время спрашиваете на форуме?

А что?

type2b в сообщении #543626 писал(а):

Так ничего путного у вас не напишется.

Bet?

[Bulinator]

type2b в сообщении #543626 писал(а):

(докажите)

Примерно так:
Берем $\mathbb{F}^{n+1}$($\mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$). Любые 2 точки(отличные от нуля) $Z=(z_1,z_2,\ldots,z_{n+1})$ и $Z'=(z'_1,z'_2,\ldots,z'_{n+1})$ с помощью какой-нибудь унитарной матрицы $A$ связаны соотнощением:
$A Z=Z'\lambda ,\quad \lambda\in \mathbb{F}$
Однако среди матриц $A$ есть такие, которые вообще не действуют на заданную(фиксированную!) точку $Z$(Эдакий аналог малой группы Вигнера). Для каждого заданного вектора $Z$ эти матрицы, понятно, образуют группу $U(n)\times U(1)$(просто берем $Z_0=(1,0,\ldots,0)$ и убеждаемся). Отсюда понятно, что проективное пространство изоморфно факторпространству $U(n+1)/U(n)\times U(1)$. Правильно?

Явные формулы для проекции мне совсем не хочется выписывать(по понятным причинам )

-- Ср фев 29, 2012 15:19:39 --

(Оффтоп)

Вопрос: $\mathbb{O}P^1$ существует? Т.е. если я стандартно определю $\xi_i=o_io_{n+1}^{-1}$ это будет нормальной картой или есть какие-то проблемы?

[type2b]

только не любые две точки, а два ортонормированных набора. И фактор $\lambda$ справа не нужен. "Эдакий аналог малой группы" называется изотропной подгруппой, это уже тут обсуждалось.

Про $\mathbb{O}P^1$ вы можете разобраться сами (и, кажется, это тоже тут где-то раньше обсуждалось), а мне нужно потратить столько же времени, сколько и вам :)

Насчет того, что ничего путного не получится, я не из вредности пишу или желания обидеть. Просто я убежден, что в той области, где вы, видимо, хотите работать, без хорошего руководителя вы будете обречены заниматься изобретением велосипедов. И это никуда не годится, что человек вопросы про свой ресерч задает на форуме. Это просто несерьезно. Опять же, простой критерий: если вы хотите серьезно и самостоятельно работать в какой-то области, то вы должны свободно читать статьи в этой области. Если вы попадаете в затык на пятой странице, то вам рано пытаться двигать науку. Тут для старта нужна помощь хорошего руководителя.
Опять же, это, собственно, не мое дело -- давать вам советы, но раз я пытаюсь отвечать на ваши вопросы, то я чувствую себя ответственным за введение вас в заблуждение, что можно делать ресерч, консультируясь при этом на форумах. Не хочу быть за это ответственным :)