Упрощенный вариант третьей степени ВТФ.Решение.

[barsukov]

Moderator AKM

Уважаемые ферматики . Предлагаю Вашему вниманию версию доказательства что
$ (k+1)^3=k^3+y^3 $ не имеет решений.
Любое целое положительное число в кубе при делении на 9 дает в остатке плюс или минус единицу..
Следовательно один из членов ВТФ для третьей степени делится на 3.
Из формулы

$$ (k+1)^3=k^3+y^3 \eqno (1) $$

$$ 3k^2+3k+1=y^3 \eqno (2) $$

Видно что $ y \equiv 1 (mod 3) $
Рассмотрим случай $ k=3s_0t \quad k+1=wz $
Из формулы (1)

$$ k+1-y=3^2s_0^3 \eqno (3) $$

$$ (k+1)^2+(k+1)y+y^2=3t^3 \eqno (4) $$

$$ k+y=z^3 \eqno (5) $$

$$ k^2+ky+y^2=w^3 \eqno (6) $$

Из формулы (5) $ z \equiv 1 (mod 3) \quad z^3 \equiv 1 (mod 3^2) $
И следовательно из формул (3)(5)

$$ k+1-y \equiv 0 (mod 3^2) $$

$$ k+y \equiv 1 (mod 3^2) $$

И следовательно $ k \equiv 0 (mod 3^2) \quad s_0=3s \quad y \equiv 1 (mod 3^2) $

$$ k+1-y=3^5s^3 \eqno (7) $$

Из формул (2)(5)(7)

$$ 3z^6-6z^3y-3y^2+3z^3-3y+1=y^3 $$

$$ 3z^3(z^3-2y+1)=(y-1)^3 $$

$$ y-1=3^2sz \eqno (8) $$

Из формул (5)(8)

$$ z^3-k-1=3^2sz $$

$$ w=z^2-3^2s \eqno (9) $$

Из формулы (7)

$$ 3^2st-3^2z=3^5s^3 $$

$$ t=3^3s^2+z \eqno (10) $$

$$ wz-3^2st=1 $$

Из формул (9)(10)

$$ z^3-3^2sz-3^2st=1 $$

$$ z^3-1=3^2(z+t) \eqno (11) $$

$$ (z-1)(z^2+z+1)=3^2(2z+3^3s^2) $$

$$ z-1=3s_1m \eqno (12) $$

$$ z^2+z+1=3s_2n \eqno (13) $$

$$ 2z+3^3s_1^2s_2^2=mn \eqno (14) $$

$ s=s_1s_2 \quad m, \,\, n ,\,\, s_1, \,\, s_2 $ общие делители
Из формул (12)(13)

$$ 3s_1^2m^2+z=s_2n \eqno (15) $$

Из формул (14)(15)

$$ 3s_1^2(3^2s_2^2-2m^2)=n(m-2s_2) $$

$$ 3^2s_2^2-2m^2=nq $$

$$ m-2s_2=3s_1^2q $$

Тогда $ m^2 \equiv 4s_2^2 (mod q) \quad s_2^2 \equiv 0 (mod q) \quad m \equiv 0 (mod q) $
И из формулы (14) $ z \equiv 0 (mod q) $
Следовательно $ q=1 $ иначе члены формулы ВТФ имеют общий делитель.
При $ 2s_2>m $ $ k $ отрицательно

$$ 3^2s_2^2-2m^2=n \eqno (16) $$

$$ m-2s_2=3s_1^2 \eqno (17) $$

Из формул (15)(17)

$$ m^3-2s_2m^2+z=s_2n $$

$$ m^3+z= s_2(n+2m^2) $$

И из формулы (16)

$$ m^3+z=3^2s_2^3 \eqno (18) $$

$ m^3 \equiv -1 (mod 3^2) \quad z \equiv 1 (mod 3^2) $
Из формулы (12) $ s_1=3s_3 $ Из формул (16)(17) $ s_2 \equiv n (mod 3^3) $
Из формулы (15) $ s_2n \equiv 1 (mod 3^2) \quad s_2 \equiv 1 (mod 3^2) $
И из формулы (17) $ m \equiv 2 (mod 3^2) $
И из формулы (18) $ z \equiv 1 (mod 3^3) $
И вновь из формулы (12) $ s_1=3^2s_4 $ Это ведет в бесконечность.
Действия для случая $ k+1 \equiv 0 (mod 3) $ проводятся подобным образом.
Результат аналогичен. Уравнение (1) не имеет решения в целых числах.

[venco]

Что за новые переменные перед (3)?
Откуда (3)?

(дальше не смотрел)

[AKM]

PAV в Правилах форума писал(а):

Имейте в виду, что запрещается создавать новую тему в каком-либо разделе форума, дублирующую тему в карантине, даже оформленную в соответствии со всеми правилами. Подобные темы будут удаляться без предупреждений и уведомлений.

Ознакомьтесь, наконец, с правилами форума.
Я, кстати, вовсе не просил Вас наставить скобочек вокруг mod. Я привёл два варианта рекомендуемой записи этого оператора. Например, a \mod b . Ни одним из них Вы не воспользовались.

Тема закрыта и будет удалена. Там было ясно сказано, что следует делать: отредактировать тему и сообщить об этом.