Стандартная задача по теории групп.Нужно разобраться.

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума. Не получается разобраться в решении стандартной задачи из сборника задач под редакцией Кострикина. Задача под номером 60.53 :
В факторгруппе свободной абелевой группы $A$ с базисом $x_1, x_2, x_3$ по подгруппе $B$, порожденной $x_1 + x_2 + 4x_3$ и $2x_1 - x_2 + 2x_3$, найти порядок смежного класса $(x_1 + 2x_3) + B$.
Помнится, на семинарах мы составляли такую вот матрицу :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Потом используем элементарные преобразования ($1) a_i \to a_i + ka_j, k \in \mathbb{Z} ; 2) a_i \to a_j , a_j \to a_i; 3) a_i \to -a_i$). Отличие от обычных преобразований в том, что нельзя строки(столбцы) умножать на нецелые числа. Причем преобразования строк с последней строкой проводить нельзя. Только с двумя первыми. А преобразования столбцов допускаются без исключения. Я не понял почему именно такое условие? После преобразования имеем такую матрицу :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$

И вот здесь я полностью не знаю что дальше делать. Как дальше решать, ведь нам порядок нужен? Кстати, ответ - 3.

[PAV]

Для стандартных задач есть стандартное место - подраздел "Помогите решить/разобраться". Перенесено