Счетная субаддитивность внешней меры.

[xmaister]

В книге Богачева по теории меры сформулировано утверждение: Пусть $\mu$- неотрицательная функция множества. Тогда $\mu^*\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n\right)\le \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n)$ для любых множеств $A_n$.
Пусть $\varepsilon >0$ и $\mu^* (A_n)<\infty$, тогда для любого $n$ существует такой набор $\{B_{n,k}\}\subset\mathcal{A}$, что $A_n\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty}B_{n,k}$ и

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(B_{n,k})\le \mu^* (A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}$$

т.е. здесь под семейством $\mathcal{A}$ подразумевается алгебра? Почему для любого $\varepsilon >0$ существует такое счетное семейство $\{B_{n,k}\}$?

[_hum_]

Определение инфимума?


P.S. Поправьте текст (в нем множества приравниваются числам, и суммирование скорее всего не по тем индексам ведется...)

[xmaister]

_hum_ в сообщении #540925 писал(а):

Определение инфимума?

$\mu^*(A_n)\le \sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(B_{n,k}),A_n\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty}B_{n,k}$

[_hum_]

Я имел в виду определение инфимума в "$\varepsilon$"-терминологии (ну или назовите это свойством): нижняя грань $u$ числового множества $X$ является точной, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется $x_\varepsilon\in X$, что $x_\varepsilon< u + \varepsilon.$