Условное функциональное уравнение

[Dave]

Докажите, что существует единственная непрерывная функция $f(x)$, определённая на интервале $(-1,1)$, такая, что $f\left(\frac 1 3\right)=1$ и для любых $x$, $y$, $z$ из этого интервала, удовлетворяющих соотношению $x+y+z+xyz=0$, справедливо равенство

$$f(x)+f(y)+f(z)=0.$$

[hippie]

Ответ: $f(x)=\frac{2\operatorname{arth} x}{\ln 2} .$

Введём новые переменные:
$x=\th a;\ y=\th b;\ z=\th c$ и обозначим $F(a):= f(x) = f(\th a).$
Из условия $x+y+z+xyz$ получаем $\th c =- \frac {\th a+ \th b}{1+ \th a \th b}=- \th (a+b)=\th (-a-b),$ и, следовательно, $a+b+c=0.$
Таким образом, функция $F$ определена на всей оси и удовлетворяет условию:
$F(a)+F(b)+F(c)=0$ при $a+b+c=0.$
Подставляя $c=0,\ b=-a$ получаем $F(-a)=-F(a).$
Таким образом, $F(a)+F(b) = -F(-a-b) = F(a+b),$ и, вследствие непрерывности, $F(a)=ka,$ где $k$ — константа, которая находится из условия $f(1/3)=1.$

[Dave]

Если $x+y+z+xyz=0$, то $(1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z)$, значит $\frac {1+x} {1-x} \cdot \frac {1+y} {1-y} \cdot \frac {1+z} {1-z} = 1$ и $\ln \frac {1+x} {1-x} + \ln \frac {1+y} {1-y} + \ln \frac {1+z} {1-z} = 0$, т.е. все функции вида $f(x)=k \ln \frac {1+x} {1-x}$ удовлетворяют нашему функциональному уравнению.
То, что другие не удовлетворяют, следует из рассмотрения непрерывной функции $g(x)=f\left(\frac {e^x-1} {e^x+1}\right)=f\left(h^{-1}(x)\right)$, где $h(x)=\ln \frac {1+x} {1-x}$, определённой на всей действительной оси. Если $p+q+r=0$, а $x=h^{-1}(p)$, $y=h^{-1}(q)$, $z=h^{-1}(r)$, то $h(x)+h(y)+h(z)=0$ и, записывая в обратном порядке вышесказанное, получим, что $x+y+z+xyz=0$, откуда $f(x)+f(y)+f(z)=0$ и получаем уравнение на функцию $g$: $g(p)+g(q)+g(r)=0$ при любых $p$, $q$, $r$ таких, что $p+q+r=0$, все непрерывные решения которого линейны. Значит $f(x)=f\left(h^{-1}(h(x))\right)=g(h(x))=kh(x)$.
В нашем случае, учитывая условие $f\left(\frac 1 3\right)=1$, получаем: $k=\frac 1 {\ln 2}$ и $f(x)=\log_2 \frac {1+x} {1-x}$.