Яйца и корзины

[В.О.]

Есть два тайника. Первый тайник грабители не находят за одну попытку с вероятностью $p_1$, второй тайник с вероятностью $p_2$. Как следует распределить фиксированную сумму денег между тайниками, чтобы через большое число попыток оставалась не найденной в среднем максимальная сумма?
Будет ли верно правило не класть все яйца в одну корзину?

[PAV]

Перемещено из дискуссионного раздела в учебный. При аккуратной формулировке это будет обычная задача, легко решаемая простыми методами

[Shadow]

Через достаточно большое число попыток не останется ни копейки.

[В.О.]

PAV в сообщении #540530 писал(а):

обычная задача, легко решаемая простыми методами

Чем проще, тем лучше. Ход решения можно описать словами. Если не затруднит.

[arseniiv]

А сами?

[ИСН]

"Путешествие в тысячу ли начинается с одного шага."
Решите для одной попытки.
Потом для двух.

[PAV]

Для начала нужно уточнить условие. Судя по всему, оба тайника обнаружить за одну попытку разом нельзя. (Или можно?) Если так, тогда у каждой попытки есть три возможных исхода: либо обнаружен первый тайник (вероятность $p_1$), либо второй (вероятность $p_2$), либо не обнаружен ни один ($1-p_1-p_2$).

Далее, если обнаружен первый тайник, то как проходят последующие попытки? По-прежнему вероятность обнаружить второй равна $p_2$, а не обнаружить тогда остается $1-p_2$? Или как-то иначе?

(Вообще тот факт, что вероятности обнаружения не меняются со временем, это довольно странные свойства данной модели, не очень правдоподобные).

[В.О.]

ИСН в сообщении #540596 писал(а):

Решите для одной попытки.
Потом для двух.

Я благодарен за подсказку, но вижу, что совершенно не донес суть вопроса до уважаемой публики. Почему-то мне показалось, что все бросятся делать подсчеты и сами увидят, что ничего не получается. Запишу для одной попытки.
Пусть $\beta _1$ - доля денег, спрятанная в первом тайнике, $\beta _2$ доля денег во втором тайнике, $\beta _1+\beta _2=1$. После одной попытки останется в среднем
$E _1 = \beta _1 p_1(1- p_2) + \beta _2 p_2(1- p_1) + p_1p_2$
Максимум по $\beta _1,\beta _2\geq 0,\beta _1+\beta _2=1$ будет достигаться или при $\beta _1=0$ или при $\beta _2=0$, т.е. все деньги нужно класть в тайник с меньшей вероятностью обнаружения. Аналогично, через любое количество попыток. Т.е. все яйца нужно класть в одну корзину.
А как же тогда народная мудрость? Можно ли найти ей математическое подтверждение?
Правда, теперь задача перестает быть обычной.

[arseniiv]

В.О. в сообщении #540685 писал(а):

А как же тогда народная мудрость? Можно ли найти ей математическое подтверждение?

А вы не задумывались, что, может, вы ею неправильно пользуетесь? К ней, по-моему, лучше подходит модель такая: раскладываем деньги по банкам, но не знаем, какой из них имеет какую вероятность обанкротиться.

[В.О.]

PAV в сообщении #540685 писал(а):

тот факт, что вероятности обнаружения не меняются со временем, это довольно странные свойства

Да, как обычно, будем считать попытки независимыми. Факт обнаружения каждого тайника тоже не влияет на вероятность обнаружения другого.
$p_1, p_2$ вероятность НЕ обнаружить.
Вероятность, что не обнаружен ни один равна произведению $p_1p_2$.
Условие можно менять по своему усмотрению. Лишь бы получить подтверждение народной мудрости. Причем, внутренний голос подсказывает, что доля денег в тайнике должна быть пропорциональна его безопасности.

[ИСН]

Ну что тут будешь делать? Плохая модель для данной мудрости.
Да и вообще, эта народная мудрость порой загибает... "Встреча с покойником, несущим пустые вёдра, не сулит ничего хорошего."

[PAV]

В.О. в сообщении #540691 писал(а):

Причем, внутренний голос подсказывает, что доля денег в тайнике должна быть пропорциональна его безопасности.

Он ошибается. Чаще всего в моделях с подобной целевой функцией оказывается, что весь ресурс нужно пустить на самую выгодную цель. В данном случае - все деньги нужно класть в самый надежный тайник. Потому что в модели нет никакого фактора, который бы делал хоть в чем-то выгодным оставлять деньги в менее надежном тайнике.

[Евгений Машеров]

Задача недоопределена. Произвольно уточняя условия, можно получить оптимальность вложения в один тайник, можно - распределения по тайникам.

[В.О.]

Евгений Машеров в сообщении #540738 писал(а):

уточняя условия, можно получить оптимальность вложения в один тайник, можно - распределения по тайникам.

Очень хочется, чтобы получилось распределение по тайникам. Уточните, пожалуйста, условия так, чтобы получилось распределение. Можно на словах, без формул.

-- Пн фев 20, 2012 00:37:35 --

PAV в сообщении #540706 писал(а):

в модели нет никакого фактора, который бы делал хоть в чем-то выгодным оставлять деньги в менее надежном тайнике.

Так давайте добавим этот фактор.

[В.О.]

PAV в сообщении #540706 писал(а):

Он ошибается. Чаще всего в моделях с подобной целевой функцией оказывается, что весь ресурс нужно пустить на самую выгодную цель. В данном случае - все деньги нужно класть в самый надежный тайник

И все же, этого делать не стоит. Положив все яйца в одну, даже самую надежную корзину, Вы увеличите вероятность потерять все, что у Вас есть $1-p_1$. Если разделить деньги, то вероятность потерять все станет меньше $(1-p_1)(1-p_2)$. Правда, остается непонятным как оптимально разделить деньги.