2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Последовательность со свойством
Сообщение19.12.2006, 16:10 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Хотелось бы увидеть пример положительной убывающей последовательности $a_k$ со свойством $\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i+k}\leq q^k\cdot b_n \ \forall k, \ q=const\in(0,1), b_n\to\infty , \ \frac{b_n}{\sqrt{n}}\to 0,\ n\to\infty$ при достаточно больших $n$. Интерес естественно представляют последовательности, для которых приведенная оценка была бы не слишком завышена.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
А такое решение не подходит:

$$b_n = n^{\frac 1 3}$$

$$q = \frac 1 2$$

А для ряда с бесконечным числом членов ($$ n \to \infty$$). Если член ряда зависит от суммы $$i +k$$, то может быть:

$$a_{i+k} = \frac 1 {(i+k)^2}$$

(положительна и убывает)

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Есть ещё один вопрос. У Вас последовательность изначально задана как $$a_k$$. Означает-ли это то, что стоит под суммой имеет двойной индекс $$a_{k_i}$$. Тогда можно для любого $$k$$ сделать такую $$\frac 1 {|k|^i}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Что-то странное это: $\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i+k}\leq q^k\cdot b_n$, кладем $n = 1$, имеет $a_{k+1} \leq q^k b_1$, соответственно, $\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{k}\leq \frac{b_1}{1-q}$. Можно, конечно, взять $b_n = n^{1/3}$, но это ничего не поменяет по сути.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
незваный гость писал(а):
:evil:
соответственно, $\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{k}\leq \frac{b_1}{1-q}$.


Не совсем понятно, член $$a_k$$ больше не зависит от $$i$$ или это вообще константа относительно суммы? (которая выносится).

$\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{k} = \phantom{0} n \cdot a_k \phantom{0} \text{при} \phantom{0} n \to \infty$, т.е. ряд расходящийся и неравенство не выполянется при таком $$b_n$$ (растёт медленнее)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 19:27 
Заслуженный участник


01/12/05
458
В общем, вопрос в такой формулировке пока снимается.
Незваный гость: я в условии написал, что все рассматривается при боьших $n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Capella писал(а):
Не совсем понятно, член $$a_k$$ больше не зависит от $$i$$ или это вообще константа относительно суммы? (которая выносится).

Это описка, разумеется. $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{k}$

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

Юстас писал(а):
я в условии написал, что все рассматривается при боьших $n$.

Виноват, не понял, к чему относится «при больших $n$» — посчитал, что только к концу фразы. Но если это верно при некотором $n$ не зависящем от $k$, то $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_k} = $ $\sum\limits_{i = 0}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_{i * n + k} \leq $ $\sum\limits_{i = 0}^{\infty}q^{i n} b_n = $ $\frac{b_n}{1-q^n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group