Сумма двух квадратов (задача из далёкого прошлого)

[Ktina]

Доказать, что при любом $n\in\mathbb N$ число $1989^n$ представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел как минимум двумя различными способами.
(способы $a^2+b^2$ и $b^2+a^2$ считаются за один)

(Оффтоп)

*Эта задача предлагалась в одном из Дворцов Пионеров, сами догадайтесь в каком году

[temp03]

В 1989-м.

[MrDindows]

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2$
Осталось только найти 2 представления для 1989:
$1989=42^2+15^2=33^2+30^2$ - спасибо калькулятору за это)

[Sonic86]

(Оффтоп)

MrDindows в сообщении #540307 писал(а):

$1989=42^2+15^2=33^2+30^2$ - спасибо калькулятору за это)

Калькулятор не нужен, представление в виде суммы квадратов здесь легче вычисляется из факторизации числа (ну мое такое мнение ну да, я просто выпендриваюсь):
$1989=3^2\cdot 221=3^2(15^2-2^2)=3^2\cdot 13\cdot 17=3^2(2^2+3^2)(4^2+1^2)$ и дальше комбинируем сомножители 2-я способами, как Вы это делали. По-моему, так легче.

[Ktina]

MrDindows в сообщении #540307 писал(а):

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2$
Осталось только найти 2 представления для 1989:
$1989=42^2+15^2=33^2+30^2$ - спасибо калькулятору за это)

У меня немножко иначе, отдельно для чётных и нечётных показателей.

Для нечётных:
По индукции. Для $1989^1$ такие представления есть (калькулятор не понадобился, так как помню таблицу квадратов): $1989=30^2+33^2=15^2+42^2$.
Если каждое из слагаемых умножить на $1989^2$, то слагаемые останутся квадратами, а сумма увеличится в $1989^2$ раз.

Для чётных:
Троевы Пифагорки. Так как 1989 делится на 13 и на 17, подбираем соответствующие Пифагорки (12, 5, 13) и (15, 8, 17), а далее по индукции, как и для нечётных.

Что-то упустила?

[Руст]

Точнее число $3^{2n}13^n17^n$ представляется $4(n+1)^2$ способами в виде суммы двух квадратов целых чисел и $[\frac{(n+1)^2}{2}]$ упорядоченных натуральных чисел.