Как быть с такой плотностью

[loldop]

Добрый день!
Натолкнулся недавно на такую задачу:
Пусть есть обычное, даже нормальное распределение:

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x)^2}{2}}$

Пусть есть необычное нормальное распределение с достаточно малым $\sigma$

$b(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x)^2}{2\sigma^2}}$

Определим новую функцию так:

$a(x) = g(x)1_{(x\not=0)}+b(x)1_{(x=0)}$

Вопрос:
Будет ли плотностью эта функция?
Вопрос:
Будет ли плотностью
$\lim\limits_{\sigma\rightarrow0}a(x)$

[Nimza]

$\lim a(x) = g(x)$ п.н.

[ewert]

loldop в сообщении #540170 писал(а):

Будет ли плотностью эта функция?

Будет, причём будет просто совпадать с $g(x)$ (поскольку любая плотность вообще определена лишь с точностью до множества меры ноль).