О кривых скорейшего спуска

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим гладкую натуральную лагранжеву систему

$$L=T-V,\quad T=\frac{1}{2}g_{ij}(q)\dot q^i\dot q^j,\quad V=V(q),\quad q=(q^1,\ldots,q^m)\in \mathbb{R}^m.\qquad (**)$$

Будем искать кривую, по которой система на уровне энергии $h$ за кратчайшее время переходит из точки $q_0$ в точку $q_1$. Параметризуем эту кривую параметром $s,\quad q=q(s)$. Тогда

$$(\dot s)^2 \frac{1}{2}g_{ij}(q(s(t))) q^i_s(s(t)) q^j_s(s(t))+V(q(s(t)))=h.$$

Нижним индексом $s$ обозначена производная по $s$.
Отсюда находим время движения по кривой $q(s)$:

$$t=\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{\frac{T}{h-V}}ds.\qquad (*)$$

Этот функционал подлежит минимизации в классе кривых $q(s),\quad q(s_i)=q_i,\quad i=0,1.$
Экстремали функционала (*) в указанном классе кривых будем называть кривыми скорейшего спуска.

Следующее утверждение вытекает из принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби.

Теорема. Кривая $q(s)$ тогда и только тогда является кривой скорешего спуска для системы (**) на уровне энергии $h$, когда она является траекторией системы с лагранжианом

$$L^*=T-V^*,\quad V^*=-\frac{1}{h-V}$$

на нулевом уровне энергии.