Неординарная система функциональных уравнений

[arseniiv]

Пусть $V$ — какое-нибудь пространство функций, $K\colon V\to V$, $*\colon V^2 \to V$;

\begin{gather*} K(f \circ g) = (f \circ Kg) * (g \circ Kf), \\ K(\mathrm{id}) = \mathrm{id}. \end{gather}

Что можно из этого вывести про $*$? У меня получилось только $\mathrm{id} * \mathrm{id} = \mathrm{id}$.

Вообще, что можно сказать и об операторе $K$? Какое-нибудь частное решение этой системы можно привести?

(Зачем)

Это я подумал, почему бы не поискать оператор, который на композицию действует как производная на произведение. Только $(fg)' = fg' \mathbin{\color{blue} +} gf'$, а здесь с плюсом ничего хорошего не вышло (скорее всего, из-за лишней здесь его коммутативности), вот и обобщил.

Я ориентировался на $V = \mathbb R^{\mathbb R}$, хотя можно взять только непрерывные функции и прочее.

[svv]

Подставил $\mathrm{id}$ вместо одной из функций, чтобы получить некоторое простое условие на $*$, но что-то ничего хорошего не получилось:

$$Kf=K(f\circ\mathrm{id})=(f \circ K(\mathrm{id})) * (\mathrm{id} \circ Kf)=f*Kf$$

[arseniiv]

Да, не выходит. Я тоже так делал.

-- Сб фев 18, 2012 22:42:32 --

Я ещё подставлял $x \mapsto \frac1x$, константу и $x \mapsto x^{a+b}$.

Видимо, без дополнительных условий с моей стороны другие условия с их стороны не выведутся. Только хочу найти что-нибудь интересное, и неверные условия могут всё испортить.

-- Сб фев 18, 2012 23:11:00 --

Думаю, надо принять приоритет звезды меньше, чем у композиции.

О! Что ж я ассоциативность не потрогал!

$$K((f\circ g)\circ h) = f\circ g\circ Kh * h\circ (f\circ Kg * g\circ Kf)$$

$$K(f\circ (g\circ h)) = f\circ (g\circ Kh * h\circ Kg) * g\circ h\circ Kf$$

Напрашивается предложить им дистрибутивность $a\circ (b * c) = a\circ b * a\circ c$. Тогда будет

$$K((f\circ g)\circ h) = f\circ g\circ Kh * h\circ f\circ Kg * h\circ g\circ Kf$$

$$K(f\circ (g\circ h)) = f\circ g\circ Kh * f\circ h\circ Kg * g\circ h\circ Kf$$

Если ещё $a * b = a * c \Leftrightarrow b = c$ (для этого же не обязательно $*$ удовлетворять аксиомам группы, вроде есть ещё расклады?), то

$$h\circ f\circ Kg * h\circ g\circ Kf = f\circ h\circ Kg * g\circ h\circ Kf$$

Малопомогающе как-то.

[type2b]

обобщать производную скорее надо так: $K(f\times g)=K(f)\times g+f\times K(g)$, что совпадает с Вашим определением только при коммутативности умножения. И тогда получится то, что в алгебре называется derivation.

[Leox]

type2b в сообщении #540357 писал(а):

обобщать производную скорее надо так: $K(f\times g)=K(f)\times g+f\times K(g)$, что совпадает с Вашим определением только при коммутативности умножения. И тогда получится то, что в алгебре называется derivation.

да, и тогда вместо ассоциативности должен появиться какой-то аналог тождества Якоби.

[arseniiv]

А с этим уравнением идей нет?