Полнота системы аксиом Пеано

[Doil-byle]

Сейчас изучаю основания арифметики по книжке Демидова И.Т.. Сначала там доказывается, что система аксиом Пеано является полной, в такой формулировке полноты:"Система аксиом называется полной, если любые две её интерпретации $M$ и $\overline{M}$ изоморфны.
Потом пишется, что полноту системы можно понимать и так: "Система аксиом является полной, если всякое предложение, которое можно сформулировать с помощью этой системы аксиом, можно в этой теории доказать или опровергнуть." Потом в неком лирическом отступлении говорится, что Гёдель доказал, что система формализованной арифметики неполна. Так какая связь между этими двумя определениями? Я так понимаю, они не эквивалентны? У меня такое чувство, что первое определение просто менее популярное и не связано со вторым, раз по одному определению аксиоматика Пеано полна, а по другому - нет.