Сумма элементов множества всех остатков

[Ktina]

Для каждого натурального $n>1$ определим $S_n$ как множество всех остатков, даваемых числом $n$ при делении на все натуральные числа, меньшие $n$.
Известно, что для некоторого натурального $m>1$ сумма всех элементов множества $S_m$ равна $251m$.
А чему равно само $m$?

[Dave]

Если $m=2k+1$, то $S_m=\{0,1,\ldots,k\}$ (остатки от деления на $k+1,\ldots,m-1$ и $1$, остальные заведомо меньше $k+1$) и должно быть $\frac {m^2-1} 8 =\frac {k(k+1)} 2= 251m$, откуда $m^2-1=2008m$ и $1 \vdots m$, что невозможно при $m>1$.
Если же $m=2k$, то $S_m=\{0,1,\ldots,k-1\}$ (остатки от деления на $k,k+1,\ldots,m-1$, остальные заведомо меньше $k$) и должно быть $\frac {(k-1)k} 2= 251 \cdot 2k$, откуда $k=1005$ и $m=2010$

[Ktina]

Dave в сообщении #539934 писал(а):

Если $m=2k+1$, то $S_m=\{0,1,\ldots,k\}$ (остатки от деления на $k+1,\ldots,m-1$ и $1$, остальные заведомо меньше $k+1$) и должно быть $\frac {m^2-1} 8 =\frac {k(k+1)} 2= 251m$, откуда $m^2-1=2008m$ и $1 \vdots m$, что невозможно при $m>1$.
Если же $m=2k$, то $S_m=\{0,1,\ldots,k-1\}$ (остатки от деления на $k,k+1,\ldots,m-1$, остальные заведомо меньше $k$) и должно быть $\frac {(k-1)k} 2= 251 \cdot 2k$, откуда $k=1005$ и $m=2010$

А если 251 заменить на натуральное $a$, то формула будет $8a+2$ (можете проверить).