Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуум

[Vladimir Gorlin]

Добрый день. Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуума?

[alcoholist]

множество последовательностей 0 и 1

-- Ср фев 15, 2012 22:43:27 --

постройте биекцию с единичным отрезком

[Vladimir Gorlin]

Я понимаю, что для того, чтобы доказать равномощность множества Кантора отрезку, нужно построить биекцию. Только как это сделать?

[ИСН]

Множество Кантора состоит из каких чисел? У которых что? Которые записываются как?

[Vladimir Gorlin]

Из единичного отрезка C0 = [0,1] удалим среднюю треть, т. е. интервал ,(1/3, 2/3). Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C_1=[0,1/3]\[2/3,1] состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C2. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C3. Обозначим через C пересечение всех Ci. Множество C называется Канторовым множеством.
Вообще описание можно найти, например, в википедии.

[ИСН]

Спасибо, это я уже когда-то читал. Я говорю: свойства у него какие? Знаете? Про троичную систему там что-то было...

[Vladimir Gorlin]

Сейчас покопирую из википедии.
* Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
o В частности, оно замкнуто.
* Канторово множество континуально. В частности,
o Канторово множество не счётно
* Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
* Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность равную \ln2/\ln3\approx 0,63. В частности,
o Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.

[ИСН]

Ну вот, видите: континуально. Вам же это было нужно?

[Vladimir Gorlin]

Да, я читал доказательство с троичной системой, но там не доказывается, почему элементы мно-ва К. представляются без двойки, и вообще хотелось бы чего-нибудь покрасивее.

-- Ср фев 15, 2012 23:02:20 --

А доказательство?

[ИСН]

Представляются они без двойки единицы потому, что всех, у кого она была на первом месте после запятой, вырезал какой-то маньяк с ножницами на первом шаге. Всех, у кого она на втором месте... улавливаете?

[Asker Tasker]

На первом шаге выкидывается интервал (1/3; 2/3) и, если перейти к троичной системе, получим, что все точки этого интервала имеют в десятичной записи $0,\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha_{n}...$ $\alpha _{1} = 1$. С остальными интервалами похожая история: будут выкидываться интервалы, в которых i-ая цифра десятичной записи равна единице.

На концах интервалов возникнет небольшая проблема. Вернёмся к первому шагу: концы выкинутого интервала имеют двойное представление в троичной системе:
1/3 = 0,100...
2/3 = 0,122...
Договоримся использовать для таких точек ту форму записи, в которой отсутствуют единицы. Также отметим, что этих точек счётное число: имеем счётное число шагов и на каждом таких "точек деления" конечное количество, то есть всего их число счётное.

Что делается дальше, точно не помню, но, кажется, как-то так. В итоге получим, что множество Кантора состоит из точек, троичная запись которых допускает представление без единиц. Между точками, которые в принципе единиц не содержат, построим биекцию с двоичными дробями (из отрезка [0; 1]), допускающими однозначное представление. А дробей, допускающих двоякое представление, число счётное. Между ними и "точками деления" множества Кантора (которых тоже число счётное) биекцию построить просто.

В итоге получим биекцию множества Кантора и отрезка [0; 1], а отрезок - несчётное множество.

[ewert]

Asker Tasker в сообщении #582673 писал(а):

А дробей, допускающих двоякое представление, число счётное. Между ними и "точками деления" множества Кантора (которых тоже число счётное) биекцию построить просто

, но не нужно. Это общий факт: если два бесконечных множества различаются на не более чем счётное, то эти два множества равномощны.

[Asker Tasker]

(Оффтоп)

ewert

Vladimir Gorlin в сообщении #539142 писал(а):

Я понимаю, что для того, чтобы доказать равномощность множества Кантора отрезку, нужно построить биекцию. Только как это сделать?

Если я правильно понял вопрос, автор хотел именно "построение биекции" уточнить.

[taburet]

A если привести такой контрпример:

При каждом разбиении образуются отрезки, концами которых являются рациональные числа. Поставим в соответствие каждому отрезку рациональное число являющееся, скажем, началом отрезка. Множество рациональных чисел счетно, следовательно множество отрезков то же счетно. Выходит совершенное канторово множество счетно.

Возникло противоречие с утверждением, что оно континуально.

Где ошибка в таком доказательстве?

[ewert]

taburet в сообщении #601475 писал(а):

Где ошибка в таком доказательстве?

Нигде, поскольку доказательство просто отсутствует. О каких вообще отрезках идёт речь и как они связаны с канторовым множеством?