2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление тензора
Сообщение15.02.2012, 18:55 


16/03/07
815
У меня возник вопрос. Возможно наивный, но прошу сильно не пинать. Пусть у нас есть некоторый контравариантный тензор второго ранга $T^{\mu \nu}$ (не обязательно симметричный) в пространстве-времени Минковского, имеющий нулевую дивергенцию

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=0 $$

где $D_{\nu}$ - ковариантная производная.
Можно ли его представить в виде дивергенции тензора третьего ранга

$$ T^{\mu \nu}=D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha} $$

антисимметричного по последним двум индексам

$$ \psi^{\mu \nu \alpha}=-\psi^{\mu \alpha \nu} $$
?

Вроде как нельзя (например канонический тензор энергии-импульса свободного электромагнитного поля невозможно представить в такой форме), но как доказать это строго?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление тензора
Сообщение15.02.2012, 20:39 
Аватара пользователя


21/11/11
185
В общем случае, конечно, нельзя. Но верно обратное утверждение: возьмём произвольный антисимметричный по двум последним индексам тензор третьего ранга $ \psi^{\mu \nu \alpha}=-\psi^{\mu \alpha \nu} $. Тогда тензор $ T^{\mu \nu}=D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}$ имеет нулевую дивергенцию по второму индексу. Доказывается элементарно:
$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}+D_{\alpha}D_{\nu} \psi^{\mu  \alpha \nu}\right)=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha}\left(\psi^{\mu \nu \alpha}-\psi^{\mu \nu \alpha}\right)\right)=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление тензора
Сообщение15.02.2012, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71805
VladTK в сообщении #539042 писал(а):
Вроде как нельзя (например канонический тензор энергии-импульса свободного электромагнитного поля невозможно представить в такой форме), но как доказать это строго?

А почему нельзя-то? Берёте отдельные столбцы этого тензора как векторы, и сводите задачу к стандартной векторной (бездивергентное поле как ротор). Если вас смущает операция "брать отдельные столбцы", то берёте свёртки всех ваших формул по индексу $\mu$ с константными полями базисных ковариантных векторов. (Если ваша система координат криволинейная - то не базисных, а просто векторов параллельного сдвига пространства Минковского.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление тензора
Сообщение15.02.2012, 22:48 
Заслуженный участник


23/07/08
8081
Харьков
Munin писал(а):
А почему нельзя-то?
Присоединяюсь. За нас лемма Пуанкаре.

Возможно, VladTK имел в виду, что для канонического тензора энергии-импульса не существует красивого выражения требуемого вида через $A_i$ и $F_{ik}$? Даже если и так, это не значит, что не существует нужного тензора в математическом смысле, это просто "решение существует, но не записывается в радикалах". Понятно, ТС для работы нужна простая явная формула.

Кстати, почему упомянут именно канонический ТЭИ? Он ведь отличается от симметричного (метрического) как раз на величину $\operatorname{const}(A^i F^{kl})_{,l}$, так что утверждение справедливо или нет для обоих ТЭИ одновременно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление тензора
Сообщение16.02.2012, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8563
Ilia_ в сообщении #539096 писал(а):
Доказывается элементарно:
$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}+D_{\alpha}D_{\nu} \psi^{\mu  \alpha \nu}\right)=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha}\left(\psi^{\mu \nu \alpha}-\psi^{\mu \nu \alpha}\right)\right)=0$$
Нельзя менять местами ковариантные производные (второе слагаемое).

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление тензора
Сообщение16.02.2012, 10:35 
Заслуженный участник


13/04/11
564
В пространстве Минковского можно: коммутатор пропорционален тензору кривизны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление тензора
Сообщение16.02.2012, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8563
Да, точно. Не заметил, что речь шла о пространстве Минковского.

-- Чт фев 16, 2012 12:00:52 --

Тогда не понял зачем нужно вообще морочиться с ковариантными производными. Берём обычные производные в декартовых координатах, всё для них доказываем, после чего в силу тензорности всех величин все те же равенства оказываются верными для ковариантных производных в любых координатах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group