Система из экстремума ф-ии и нелинейного уравнения

[FuntPND]

Подскажите как решить такую задачку.
Есть нелинейное относительно $z$ уравнение $F(\theta, z)=0$. Есть функция $L(\theta, z)$.
Нужно найти при каком $\theta$ функция $L()$ будет в локальном максимуме.
Для этого можно было бы выразить $z$ через $\theta$ из $F()=0$, подставить в $L()$ и найти $dL(\theta)/d\theta$.
Но выразить не получается ($F$ примерно имеет вид $z\cdot A+B\cdot\sin(C\cdot z+D)+E\cdot\cos(z\cdot F+G)$).

[Yu_K]

Посмотрите метод Лагранжа - здесь на форуме есть примеры.

[FuntPND]

Yu_K в сообщении #538999 писал(а):

Посмотрите метод Лагранжа - здесь на форуме есть примеры.

Спасибо, посмотрел, попробовал, пока не получилось, но понял, что наверное неправильно сформулировал задачу..... :(

$L$ у меня зависит еще от $\gamma$. И мне вообще-то нужно найти такой $\theta$, при котором в заданной $\gamma$ $L(\gamma)$ будет иметь локальный максимум...
Есть сомнения по функции Лагранжа, так как я по данной $\gamma$ из уравнения $F(\theta,z)$ нахожу $z$.
Функция Лагранжа $FL()=L(\theta, \gamma, z)-\lambda\cdot F(\theta, \gamma, z)$.
Систему уравнений я составляю из $dFL()/d\gamma=0$, $dFL()/d\theta=0$ и $F(\theta,z,\gamma)=0$... дальше беру заданную $\gamma$, и решаю систему, нахожу $z, \theta, \lambda$...решение получается неверное.
Но, наверное, поскольку $z$ у меня зависит от $\gamma$, то у меня уже не двумерный случай? И мне нужно вводить еще одну $\lambda$ и дополнять систему условием $\gamma=g$... сейчас попробую :)

[svv]

Решайте задачу, как если бы $\gamma$ было константой.
Соответственно, уравнения $dFL()/d\gamma=0$ не должно быть.

[FuntPND]

svv в сообщении #539760 писал(а):

Решайте задачу, как если бы $\gamma$ было константой.
Соответственно, уравнения $dFL()/d\gamma=0$ не должно быть.

Ну вот при таком раскладе решение неправильное получается, ищу ошибки....

[svv]

Но дело не в таком раскладе, а в тех ошибках.

Вы решаете такую систему? ($\gamma$ не указываю в числе аргументов, это параметр)

$$\begin{array}{l} \dfrac{\partial L(\theta,\;z)}{\partial \theta}-\lambda\dfrac{\partial F(\theta,\;z)}{\partial \theta} = 0\\ \dfrac{\partial L(\theta,\;z)}{\partial z}-\lambda\dfrac{\partial F(\theta,\;z)}{\partial z} = 0\\ F(\theta,\;z) = 0\end{array}$$

[FuntPND]

svv в сообщении #539774 писал(а):

Но дело не в таком раскладе, а в тех ошибках.

Да, точно, после ввода еще одной $\lambda$, все равно все сводится к системе, которую вы описали.

svv в сообщении #539774 писал(а):

Вы решаете такую систему? ($\gamma$ не указываю в числе аргументов, это параметр)

Да, ее.
у вас же $L$ - это моя функция, не функция Лагранжа, правильно?

[svv]

Да, конечно, всё в Ваших обозначениях. Функция Лагранжа -- это $L(\theta, z)-\lambda F(\theta, z)$.

Если хотите дальнейшей помощи, можете привести явный вид $L$ и $F$.

[FuntPND]

svv в сообщении #539793 писал(а):

Если хотите дальнейшей помощи, можете привести явный вид $L$ и $F$.

Спасибо, они немного громоздкие. Сейчас еще буду пробовать, если не получится, буду просить помочь :)

[FuntPND]

svv в сообщении #539793 писал(а):

Да, конечно, всё в Ваших обозначениях. Функция Лагранжа -- это $L(\theta, z)-\lambda F(\theta, z)$.

Если хотите дальнейшей помощи, можете привести явный вид $L$ и $F$.

Пока не получается, пробую найти в чем проблема, но если у вас есть возможность не откажусь от помощи.
$L()=\cos(\theta)\cdot (Rr \cdot \cos(RA+t)-\sin(RA)\cdot CY+\cos(RA)\cdot CX)+\sin(\theta)\cdot z$

$F()=Rd\cdot (h\cdot \tg(\theta)\cdot \cos(t+RA)-z\cdot \sin(t+RA))+(CY\cdot \cos(t)-CX\cdot \sin(t))\cdot(\tg(\beta)\cdot Rr\cdot\sin(t+RA)-Rd\cdot \tg(\theta)-\tg(\beta)\cdot h)+\tg(\beta)\cdot (-CX\cdot CY\cdot \sin(t-RA)-\sin(RA)\cdot CX\cdot CX\cdot \sin(t)+\cos(RA)\cdot CY\cdot CY\cdot \cos(t))$
где:
$ \beta = 0.26179938779914941; Rd = 129.40952255126038; Rr = 1.5589999999999999; t = -0.25152539095217941; CX = -0.87166600281927564; CY = 125.25596704101378; h = 274.61450000000002; RA = 0.0020705523608202\cdot z-0.013923598881637;$

Или:
$L()=\sin(\theta)\cdot z+\cos(\theta)\cdot (-125.2559670410138\cdot\sin(0.0020705523608202\cdot z-0.013923598881637)-0.87166600281928\cdot\cos(0.0020705523608202\cdot z-0.013923598881637)+1.559\cdot\cos(0.0020705523608202\cdot z-0.26544898983382))$

$F()=129.4095225512604\cdot (274.6145\cdot\tg(\theta)\cdot\cos(0.0020705523608202\cdot z-0.26544898983382)-\sin(0.0020705523608202\cdot z-0.26544898983382)\cdot z)+0.26794919243112\cdot (-109.1813681199034\cdot\sin(0.0020705523608202\cdot z+0.23760179207054)+0.18910067420642\cdot\sin(0.0020705523608202\cdot z-0.013923598881637)+15195.38394166962\cdot \cos(0.0020705523608202\cdot z-0.013923598881637))+121.0977094498716\cdot (0.41773279100012\cdot\sin(0.0020705523608202\cdot z-0.26544898983382)-129.4095225512604\cdot \tg(\theta)-73.58273350487654)$

Приблизительное решение:
$0.2687814<\theta<0.2687815$
$z=-6.5292278$

[svv]

Ясно...
FuntPND, вот что Вам надо сделать. Никакого метода Лагранжа.

У Вас уравнение $F(\theta, z)=0$ очень просто разрешается относительно $\tg\theta$: оно входит в уравнение линейно, и Вам надо буквально выразить его из уравнения $a(z)\tg\theta+b(z)=0$, при этом сами $a(z)$ и $b(z)$ выглядят сложно, но Вам ведь их преобразовывать не надо. Так у Вас получится функция $(\tg \theta)(z)$

Далее, зная $\tg \theta$, Вы можете найти
$\sin\theta=\pm\frac{\tg\theta}{\sqrt{1+\tg^2\theta}}$
$\cos\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\theta}}$
и подставить их вместе с $z$ в функцию $L$.
(только надо правильно выбирать знаки)

Таким образом, Вы сводите задачу к поиску экстремума функции $L(\theta(z), z)$ одной переменной, то есть $z$. При этом $\theta$, как Вы поняли, у Вас автоматически такое, что выполняется $F=0$.
А найдя $z$, при котором $L(\theta(z), z)$ имеет экстремум, Вы найдете и $\theta$ (ведь для каждого $z$ Вы вычисляли $\sin\theta$ и $\cos\theta$).

[FuntPND]

svv в сообщении #539886 писал(а):

Ясно...
FuntPND, вот что Вам надо сделать. Никакого метода Лагранжа.

Спасибо, я как раз так и делал до Лагранжа :)
Но видимо у меня что-то не так с пониманием задачи.... решение получается не то, которое ожидается...
Сейчас вот сравнил, по Лагранжу и на прямую решения одинаковые.

Причем, из решения функция $L$ имеет значение большее, чем оно по моему мнению должно быть....ладно, буду думать....

-- 17.02.2012, 20:17 --

Да, в общем все правильно решается, но получаю не то, чего ожидаю....а ожидаю я вот чего.
Например строю я график $L(\gamma)$ (там где вид функции приведен $t$ это $\gamma$) для определенного интервала $\gamma$, например от $-1.5$ до $-0.25$. У меня получается монотонно возрастающая кривая. Дальше увеличиваю $\theta$ и с каким-то значением вижу, что в точке $\gamma=-0.25$ кривая начинает спадать. Мне вот нужно найти $\theta$ до которого на заданном участке функция $L$ не будет иметь экстремумов.
И мне казалось, что достаточно найти при каком $\theta$ $L$ будет в максимуме на граничной точке...но видимо я чего-то не понимаю :(

[svv]

А у меня не так получилось. Экстремум при $z=0.878, \theta=0.254$. При этом $L=2.301$.

Давайте согласуем наши результаты, таким образом будут исправляться и Ваши, и мои ошибки -- пока не будет совпадения.

Вы можете сказать, какое получается $\theta$ и $L$ при $z=0$ ? У меня так:
$\theta=0.255272692445934$
$\tg\theta=0.260966014618616$
$L=2.29975117197154$

[FuntPND]

svv в сообщении #539930 писал(а):

А у меня не так получилось. Экстремум при $z=0.878, \theta=0.254$. При этом $L=2.301$.
Давайте согласуем наши результаты, таким образом будут исправляться и Ваши, и мои ошибки -- пока не будет совпадения.

Вы можете сказать, какое получается $\theta$ и $L$ при $z=0$?

Да, у меня тот же результат. Спасибо за интерес к моей проблеме :)
При $z=0$ получаем $\theta = 0.255272692, L=2.2997511$

-- 17.02.2012, 20:47 --

svv в сообщении #539930 писал(а):

А у меня не так получилось. Экстремум при $z=0.878, \theta=0.254$. При этом $L=2.301$.

Приблизительное решение в посте повыше я писал для задачи, которую я попытался описать еще раз. После такого значения $theta$ $L$ в точке $\gamma = -0.25$ будет спадающей.

Пробую сейчас двумерный график построить $L(\theta,\gamma)$.

[svv]

Если у Вас при $z=0$ результат совпадает с моим, так и при $z=1$ тоже, скорее всего совпадёт:
$\theta=0.253319949666719$
$\tg\theta=0.25888134338632$
$L=2.30128103950088$
Совпало?

В таком случае Вы видите, что $L$ при $z=1$ еще больше, чем при $z=0$. Тогда понятно, что максимум должен быть при положительных $z$, а не при отрицательных.

А $\gamma$ -- это $t$?