Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении действовать. Следующая задача: Доказать, что квадратичная форма f тогда и только тогда является положительно определенной, когда ее матрица представляется в виде A=C'C, где С-невырожденная вещественная матрица и C' - матрица, транспонированная к С.
RIP
18.12.2006, 20:25
Достаточность очевидна.
Для док-ва необходимости достаточно перейти к базису, в котором матрица A диагональна.
Иван88
18.12.2006, 22:14
Спасибо большое!!!
Дальше надо представить матрицу А1(в каноническом базисе) в виде произведения двух диагональных матриц и воспользоваться ортогональностью матрицы перехода к каноническому базису. Я ничего не наврал?
RIP
18.12.2006, 22:27
Матрицу перехода необязательно выбирать ортогональной. Достаточно воспользоваться тем, как меняется матрица квадратичной формы при переходе к новому базису.
Иван88
18.12.2006, 23:25
А как же мы без ортогональности матрицы перехода к каноническому базису получим разложение матрицы А С и C'? Ведь A=T*C1*C1*T^(-1), где С1*С1=А1. И T*C1 положим равным C(о котором говорится в условии), а C1*T^(-1) - C'. Т.о., если не предполагать, что Т^(-1)=T', то (T*C1)' вовсе не будет равняться С1*T^(-1). Или я что-то опять путаю? Подскажите, пожалуйста...
RIP
18.12.2006, 23:30
Матрица квадратичной формы меняется по закону
C -матрица перехода.
Не надо путать операторы и квадратичные формы.