2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Квадратичные формы (положительная определенность)
Сообщение18.12.2006, 19:02 
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении действовать.
Следующая задача:
Доказать, что квадратичная форма f тогда и только тогда является положительно определенной, когда ее матрица представляется в виде A=C'C, где С-невырожденная вещественная матрица и C' - матрица, транспонированная к С.

 
 
 
 
Сообщение18.12.2006, 20:25 
Аватара пользователя
Достаточность очевидна.
Для док-ва необходимости достаточно перейти к базису, в котором матрица A диагональна.

 
 
 
 
Сообщение18.12.2006, 22:14 
Спасибо большое!!!
Дальше надо представить матрицу А1(в каноническом базисе) в виде произведения двух диагональных матриц и воспользоваться ортогональностью матрицы перехода к каноническому базису. Я ничего не наврал?

 
 
 
 
Сообщение18.12.2006, 22:27 
Аватара пользователя
Матрицу перехода необязательно выбирать ортогональной. Достаточно воспользоваться тем, как меняется матрица квадратичной формы при переходе к новому базису.

 
 
 
 
Сообщение18.12.2006, 23:25 
А как же мы без ортогональности матрицы перехода к каноническому базису получим разложение матрицы А С и C'? Ведь A=T*C1*C1*T^(-1), где С1*С1=А1. И T*C1 положим равным C(о котором говорится в условии), а C1*T^(-1) - C'. Т.о., если не предполагать, что Т^(-1)=T', то (T*C1)' вовсе не будет равняться С1*T^(-1). Или я что-то опять путаю? Подскажите, пожалуйста...

 
 
 
 
Сообщение18.12.2006, 23:30 
Аватара пользователя
Матрица квадратичной формы меняется по закону
$$A\mapsto C^TAC$$
C -матрица перехода.
Не надо путать операторы и квадратичные формы. :!:

 
 
 
 
Сообщение18.12.2006, 23:59 
Спасибо большое!!! Теперь понял!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group