связь аналитичность-->непрерывность

[tavrik]

день добрый
дана функция, аналитичная при $|z|<1$ и непрерывна на кругу $|z|=1$
зачем второе условие, если согласно первому она обязана быть аналитичной в некой окрестности любой точки области $|z|<1$ но любая окрестность включает в себя $|z|=1$.
значит, она аналитична в этой окрестности -->имеет производную в этих точках--->непрерывна.

что я не так говорю?

[SpBTimes]

Скажем, из того, что функция $\frac{1}{x}$ дифференцируема на $(0; +\infty)$ не следует, что она непрерывна на $[0; +\infty)$. В вашем утверждении про окрестности ошибка

[Null]

Окрестности точек $|z|<1$, не обязаны содержать точки с $|z|=1$. Например каждая точка $|z|<1$ имеет окрестность радиуса $\frac{1-|z|}{2}$

[tavrik]

то есть функция может быть аналитична внутри и при этом не быть непрерывной на окружности.
точнее, даже не быть определена на окружности? что то типа $(z-1)^m$ в знаменателе?
просто ваш пример он с обратной стороны.

-- Вт фев 14, 2012 13:55:22 --

хм. точно, если окрестность будет половина или треть расстояния до 1 - то это сработает.
спасибо.