Усреднение по времени.

[GAttuso]

Есть задание:
Используя усреднение по времени найти нормированную мощность (за период) сигнала $x(t)=10\cos(10t)+20\cos(20t)$ и также нужно определить нормированную мощность по коэффициентам Фурье.
Как находить норм. мощность я знаю, такие задания решали не раз, нужно просто взять интеграл по периоду и разделить на период, а вот как быть, когда у нас сумма двух периодических функций? Т.е. как это реализовать используя усреднение по времени

[ИСН]

Сама эта сумма - периодическая функция? Да или нет?

[GAttuso]

ИСН
Прошелся по википедий:

Цитата:

Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами T1 и T2 является функция с основным периодом НОК (T1,T2)

Промоделировал в матлабе, действительно, в данном случае итоговая функция будет периодическая с периодом $\pi/5$
Т.е. мне нужно взять интеграл от квадрата $10\cos(10t)+20\cos(20t)$ c границами от 0 до $\pi/5$ и разделить на $\pi/5$?

[ИСН]

Почему бы и нет?

[GAttuso]

Хех, возможно проще будет сумму сперва перевести в произведение.
Спасибо вам ИСН

[PAV]

Поправил набор формул в сообщениях. Пожалуйста, обращайте внимание на предупреждения, которые выдает валидатор формул.

$10cos(10t)+20cos(20t)$ - неправильный набор

$10\cos(10t)+20\cos(20t)$ - правильный набор.

[мат-ламер]

Можете найти мощность для каждой функции и сложить. Это можно делать в силу теоремы Пифагора (функции перпендикулярны).

[GAttuso]

PAV
Спасибо, учту.

мат-ламер
Т.е. решая задачу через коэффициенты Фурье, мы можем также найти отдельно коэф. для первой и для второй функции, и потом просто сложить?

[мат-ламер]

GAttuso в сообщении #538419 писал(а):

мат-ламер
Т.е. решая задачу через коэффициенты Фурье, мы можем также найти отдельно коэф. для первой и для второй функции, и потом просто сложить

Я не понял какие коэффициенты Вы собираетесь искать. Что такое мощность - знаю. Что такое нормированная мощность - подзабыл. Но если мощность умножить на время - получится энергия. А энергия - это квадрат нормы в гильбертовом пространстве. И он равен сумме квадратов координат (коэффициентов Фурье) в ортонормированном базисе - теорема Пифагора.

[GAttuso]

мат-ламер
Так я про то и говорю. Ваше выражение:

Цитата:

А энергия - это квадрат нормы в гильбертовом пространстве. И он равен сумме квадратов координат (коэффициентов Фурье)

я понимаю это формулировка равенства Парсеваля, я про него и говорил, там же используются коэффициенты Фурье. И этим способом решить задачу действительно проще всего, я так и сделал сегодня на контрольной, т.к. сигналы перпендикулярны, то там все решается в одно действие $E=10^2+20^2=500$