Задания по высшей математике в НГУ

[НГУ]

Приветствую Вас! Сейчас учусь на 1 курсе физ.фак. Новосибирского Гос. Универ.. Вообще, исправно получаю зачеты по мес. заданиям по алгебре, а вот одну задачку что-то решить не могу. Спрашивал у многих: одногрупников и не только( в основном на лекциях, когда весь курс собирается). По всей видимости, решения на курсе пока нет. Обращаюсь за помощью. Итак, к делу:
Задание 2. №3.
Пусть a- комплексный корень многочлена р (-(принадлежит)Q[x], неприводимого над Q. Найти размерность над Q линейного пространства Q[a], состоящего из чисел вида f(a), где f(-(принадлежит)Q[x].
Задание взято из http://www.phys.nsu.ru/courses/ затем "Программы курсов Кафедры высшей математики 2006-07 учебного года".
Спасибо.[/math]

[Юстас]

$f(x)=P(x)q(x)+r(x)$, где $deg\ r(x) <\ deg P(x)$, соответственно $f(\alpha)=r(\alpha)$, поэтому размерность не выше степени многочлена $p(x)$. В качестве базиса берем $1,\ \alpha,\dots,\alpha^{n-1}$, где $n=degP(x)$.
Докажите самостоятельно, что это базис, используя неприводимость $p(x)$.

[НГУ]

Не уверен,но возможно это доказывается от противного, т.е. выходит противоречие: свободный коэффициент в р[x] получается равным 0, тогда 0 - корень р[x]. Все равно не получил еще полного решения.

[Руст]

Если есть между ними зависимость, то корень удовлетворяет уравнению меньшей степени, что противоречит неприводимости исходного многочлена.

[НГУ]

Не могу понять связи между произвольной лин. комбинацией степеней а и многочленом р[x], где фиксированные коэфф.

[Руст]

А что же непонятного?
Если есть такие ai, что $q(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i, \ q(\alpha )=0,$
то r(x)=НОД(p(x),q(x)) многочлен, делящий p(x), степень которого 1<=deg(r(x))<=n-1. Следовательно p(x) приводим, вопреки условию.

[bot]

НГУ писал(а):

...Сейчас учусь на 1 курсе физ.фак. Новосибирского Гос. Универ...

Мог бы и поближе спросить - непосредственно у лектора

[НГУ]

Спасибо всем, кто помог мне разобраться с задчей.