Двадцать одна плитка и одна плиточка

[Ktina]

На шахматной доске размещена 21 плитка $1\times 3$ и одна плиточка $1\times 1$.
Где может быть расположена плиточка?
Найти все варианты и доказать, что других нет.

[alcoholist]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #538284 писал(а):

Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

(А. Пуанкаре)

в кружке физики ДП нам передавали эту цитату в редакции "математика -- это наука как бы чего назвать"))

[Ktina]

alcoholist в сообщении #538285 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #538284 писал(а):

Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

(А. Пуанкаре)

в кружке физики ДП нам передавали эту цитату в редакции "математика -- это наука как бы чего назвать"))

(Оффтоп)

Во дворцах пионеров много лапши на уши вешали, ткскзть подковывали политически.

Задача эта, кстати, имеет прототип "в железе". Есть пластмассовая головоломка в виде доски 8 на 8 и тот самый набор плиток. И доску эту нужно замостить. Но одно дело методом тыка пытаться, и совсем иное - найти число способов решения "in vitro".

[alcoholist]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #538291 писал(а):

Во дворцах пионеров много лапши на уши вешали, ткскзть подковывали политически.

про колеса было динамичнее:))

[Shadow]

Одна плитка занимает 3 поля, сумма координат которых кратна 3. Сумма координат всех полей на доске кратна 3, так что сумма координат "пустой" кратна 3. Годятся ли все такие пока сказать не могу...
Нет, не достаточно. Если поле переврнуть на 90 градуса, поле (1:1) станет (1:8)...хм

[Dave]

Shadow в сообщении #538301 писал(а):

Одна плитка занимает 3 поля, сумма координат которых кратна 3. (координаты от 1 до 8). Сумма координат всех полей на доске кратна 3, так что сумма координат "пустой" кратна 3. Годятся ли все такие пока сказать не могу...

Нет, все не годятся. А вот если ещё добавить то, что разность $(x_1-y_1)+(x_2-y_2)+(x_3-y_3)$, где $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ - координаты клеток любой плитки 3x3, всегда делится на $3$, а сумма $x-y$ по всем клеткам доски равна $0$, получим, что обе координаты оставшейся клетки делятся на $3$, т.е. это могут быть только поля с3, c6, f3, f6. Нетрудно построить пример, когда так и есть.

(Оффтоп)

Да здравствует защита Каро-Канн

[Ktina]

Dave в сообщении #538303 писал(а):

т.е. это могут быть только поля с3, c6, f3, f6.

Более короткая формулировка: поле с3 с точностью до поворота доски.
Что интересно, если взять доску $7\times 7$, ответ совсем другой получается.

[Dave]

Ktina в сообщении #538308 писал(а):

Что интересно, если взять доску $7\times 7$, ответ совсем другой получается.

Да, там будут девять клеток - угловые, центральная, и центры крайних горизонталей и вертикалей.

[Ktina]

Dave в сообщении #538311 писал(а):

Ktina в сообщении #538308 писал(а):

Что интересно, если взять доску $7\times 7$, ответ совсем другой получается.

Да, там будут девять клеток - угловые, центральная, и центры крайних горизонталей и вертикалей.

Верно.
А для досок больше 8х8 (не кратных 3) очень красивые узоры получаются.

[Dave]

Необходимое условие на координаты клетки, которая может остаться на доске $n$x$n$:
$\begin{cases} x \equiv a \pmod 3,\\ y \equiv a \pmod 3, \end{cases}$
где $a$ равно $1$, если $n$ даёт остаток $1$ при делении на $3$ и $0$ - в противном случае.
По всей видимости, это же условие будет достаточным.