Доказательство, последовательность

[lampard]

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, $f(a) > 0$, последовательность $\{x_n\}\to a$. Докажите, что $f(x_n)>0$, для всех $n$, начиная с некоторого номера.

С чего можно начать?

(Первое что пришло в голову - это это определение предела функции по Гейне)

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке $~x_0$, если для любой последовательности точек $\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}$, сходящейся к $x_0$, но не содержащей $x_0$

в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности $x_0$ ), последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty}$ сходится к $A$

$$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$$

-- 12.02.2012, 15:59 --

Есть идея Раз функция непрерывна в точке $a$, значит $\lim\limits_{n\to\infty}f(x)=f(a)>0$

Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности начинают попадать в окрестность точки $a$, в которой значение функции будет положительно, $f(x_n)\to f(a)$ Правильно? А как это правильно записать?

[Dosaev]

Вспомните теорему о сохранении знака, в частности ее доказательство.
К примеру можно взять $\varepsilon = \frac{f(a)}{2} > 0$, воспользоваться определением непрерывности для этого $\varepsilon$, оценить $f(x) = (f(x) - f(a)) + f(a)$.

[lampard]

Dosaev в сообщении #537904 писал(а):

Вспомните теорему о сохранении знака, в частности ее доказательство.
К примеру можно взять $\varepsilon = \frac{f(a)}{2} > 0$, воспользоваться определением непрерывности для этого $\varepsilon$, оценить $f(x) = (f(x) - f(a)) + f(a)$.

Спасибо!