Задача на составление диф.уравнения

[NatNiM]

Доброго дня.
Имеется задача:
Прирост доли городского населения некоторого региона пропорционален доли городского населения в настоящий момент времени и разности между максимальной долей городского населения и долей городского населения в настоящий момент времени. Максимальная доля городского населения в регионе со стабильным технологическим укладом экономики остается неизменной. В начальный момент времени доля городского населения составляла 80% (имела место единовременная миграция беженцев из соседнего государства, где большая часть населения была городским), в то время как максимальная доля городского населения 70% от общей численности населения. В течение года, прошедшего с начального момента времени наблюдения, доля городского населения уменьшилась на 0,5%. Через какое количество времени доля городского населения уменьшится до 70,5%. Составить дифференциальное уравнение.
Вот такое получилось уравнение:$\[ p' = kp\left( {M - p} \right) \] $
Подскажите, пожалуйста, верно ли составлено, а то что-то не получается решить, да и само условие задачи смущает немного.

[gris]

А чего Вас смущает? Уравнение хорошее. Из условия через год и начального найдём коэффициент и константу, которая появится после интегрирования. Потом найдём требуемое.
А, понял, что смущает. Ну так поправьте: "пропорционален доле"
А вдруг там пропущено "квадрату доли"?
В любом случае уравнение интегрируется.

[NatNiM]

Смущает то, что ответ получается вот такой:
$\[ \ln \left( {\frac{p} {{M - p}}} \right) = ktM + C \] $
При подстановке начальных условий (при t=0, M=0.7, p=0.8) как-то ln отрицательный.

[ИСН]

Ну и что?

[NatNiM]

т.е. там вычислять как под знаком модуля?

[ИСН]

Ах, у Вас аргумент логарифма отрицательный. Ну да, там модуль на самом деле.

[NatNiM]

И когда пытаюсь найти, через какое количество времени доля городского населения уменьшится до 70,5%, получается время отрицательное
Вот частное решение:
$\[ \ln \left| {\frac{p} {{0.7 - p}}} \right| = \ln \left| {\frac{{152}} {{159}}} \right|t + \ln 8 \] $
Найдем, через какое количество времени доля городского населения уменьшится до 70,5%.
$\[ \ln \left| {\frac{{0.705}} {{0.7 - 0.705}}} \right| = \ln \left| {\frac{{152}} {{159}}} \right|t + \ln 8 \] $
И в итоге:
$\[ t = \frac{{\ln \left| {\frac{{0.705}} {{0.04}}} \right|}} {{\ln \left| {\frac{{152}} {{159}}} \right|}} \approx \frac{{2.869}} {{0.045}} \approx 63.8 \] $

[ИСН]

Ну и где здесь отрицательное?

[NatNiM]

Знаменатель, там не 0,045, а с минусом

[ИСН]

Частное решение диффура, пожалуйста, покажите ещё раз.

[NatNiM]

$\[ \ln \left| {\frac{p} {{0.7 - p}}} \right| = \ln \left| {\frac{{152}} {{159}}} \right|t + \ln 8 \] $

[ИСН]

Как это согласуется с известной из условия точкой при t=1?

[NatNiM]

Нашла ошибку спасибо!