ЕГЭ, уравнение с параметром

[makc]

Помогите решить пожалуйста:
$3x^2-12x+3a+9=4\sin\frac{4x-x^2-a-3}{2} \cos\frac{x^2-2x-a-1}{2}$
Задание найти наибольшее целое значение $a$ при котором уравнение имеет ровно 2 различных решения

[reg81]

При a>1 действительных решений нет.
При a=1 имеется лишь одно решение, а именно x=2
При a<1 всегда будут два действительных решения.
Поэтому наибольшим целым значением будет a=0. При этом $x_1=1 \, ; \quad x_2=3$

[Dosaev]

makc в сообщении #537161 писал(а):

Помогите решить пожалуйста:
$3x^2-12x+3a+9=4\sin\frac{4x-x^2-a-3}{2} \cos\frac{x^2-2x-a-1}{2}$Задание найти наибольшее целое значение а при котором уравнение имеет ровно 2 различных решения

Сделай в правой части сумму, приведи все к красивому в виду.

[spaits]

Можно уравнение преобразовать так: $x^2-4x+a+3=-\frac{4}{3}\cdot\sin\frac{x^2-4x+a+3}{2}\cdot\cos\frac{x^2-2x-a-1}{2}$.
Левая часть уравнения $(x-2)^2+a-1$ положительна при целых $a>1$.
Затем можно использовать неравенство, что при положительных значениях выражения $x^2-4x+a+3>\sin(x^2-4x+a+3)$.
Тогда, подставив в уравнение вместо синуса его аргумент, после сокращения имеем неравенство $\frac32<-\cos\frac{x^2-2x-a-1}{2}$, верное при положительном значении левой части уравнения.
Значит, при положительных значениях левой части уравнения корней не может быть. Левая часть уравнения положительна при целых $a\geqslant2$.
Осталось рассмотреть значение $a=1$; есть один корень, $x=2$, но только один, так как левая часть уравнения равна $(x-2)^2$, а при положительной левой части корней нет.
Случай $a=0$ уже рассмотрен выше, имеется два корня. Ответ: $a=0$.
Ответ дал reg81, я только пыталась доказать, что при больших $a$ двух корней уравнения не может быть.
Преобразование правой части в сумму ничего не даст.

[makc]

Спасибо большое, вроде получилось