Кратность корня полинома

[notkeo]

Дано:

$(x-a)*1/2*(f`(x)+f`(a))-f(x)+f(a)$

Где f(x) - полином , a - соотв. корень.

Собственно по определению , a имеет кратность неприводимого многочлена $(x-a)$ в многочлене f.
Так же имеем утверждение что кратность неприводимого многочлена (x-a)^k , будет равна k-1 соответственно в многочлене$ f`$.

Дальнейший ход размышлений не ясен .

[alcoholist]

если $a$ --корень, то $f(a)=0$, нет?

[ИСН]

Я чёта не понял: что нужно-то?

[notkeo]

Конечно , аналогично и с $f`(a)$ .
Найти необходимо кратность корня a .

тогда :

$f(x)= ( xf`(x) - af`(x) ) * 1/2$

ответ по учебнику (k+3) , где k кратность корня в $f```(x)$

[ИСН]

Ну а Вы возьмите конкретный какой-нибудь простенький полином, да и подставьте. Что получится?
А потом уже подумаем, как это доказать в общем виде.

-- Чт, 2012-02-09, 23:49 --

Ах, есть уже ответ. Тьфу, тогда неинтересно.

-- Чт, 2012-02-09, 23:50 --

Или нет, всё-таки может оказаться интересно. Что такое кратность? Например, у многочлена 0 в нуле - корень какой кратности?

[notkeo]

насколько я понимаю , степень многочлена должна быть отлична от 0 .
Определение кратности корня эквивалентно кратности неприводимого многочлена (x-a) в f. Выше уже указывал.
Ну или иначе , что (x-a)^k | f(x) , где k наивысшая степень при которой выполняется условие делимости.

[ИСН]

Зашибись. Пусть $f(x)=(x-a)^2$ (многочлен это? несомненно!); какова тогда кратность корня $f'''(x)$, на которую Вы ссылались выше?

[notkeo]

не могу в таком случае дать точный ответ , запутался.

[ИСН]

Ага!

-- Пт, 2012-02-10, 00:45 --

ИСН в сообщении #536848 писал(а):

а Вы возьмите конкретный какой-нибудь простенький полином, да и подставьте. Что получится?

[notkeo]

подставил (x+4)(x-1)^2
x=1 => k=3;
и вышел бред тк если верить ответу то сущетсвует кратность a у многочлена degf=0. В таком случае лучше не тратить на меня время ибо базы 0.

[ИСН]

Ну а Вам, однако, лучше потратить время и разобраться. Возьмите один многочлен, другой. Первая степень, вторая, ещё какая-то. Анализ, обобщение, гипотеза...

[svv]

... эксперимент, фальсификация гипотезы ...