Магнитные числа

[Ktina]

Натуральное число $n\ge 4$ называется магнитным, если существует позиционная система счисления с основанием $2\le b<n-1$, в которой $n$ является рэп-диджеем репдиджитом.

а) Доказать, что число 2012 - магнитное, а 2011 - нет.

б) Замкнуто ли множество всех магнитных чисел относительно сложения?

[Dave]

Если я правильно понял, что такое , то число, не меньшее $4$, является магнитным тогда и только тогда, когда оно имеет вид $(1+b+b^2+\dots+b^{m-1})a$, где $b \geqslant 2$, $m \geqslant 2$, $b-1 \geqslant a \geqslant 1$, $(a>1) \lor (m>2)$, $a,b,m \in \mathbb N$, откуда, в частности, следует, что простое может быть магнитным только при $a=1$, а значит оно должно иметь вид $1+b+b^2+\dots+b^{m-1}$, $b \geqslant 2$, $m \geqslant 3$, и $m$ должно быть простым. Перебором устанавливаем, что простые числа $17$ и $2011$ не представимы в таком виде. Отсюда получаем:
а) $2012 = (1+1005) \cdot 2$ - магнитное число ($a=2, b=1005, m=2$), а $2011$ - нет.
б) $7=1+2+2^2$ и $10=(1+4) \cdot 2$ - магнитные числа (соответственно $a=1, b=2, m=3$ и $a=2, b=4, m=2$), а $17$ - нет, т.е. множество магнитных чисел не замкнуто относительно сложения.