Последовательность

[xmaister]

Пусть $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{x+n^2},x\ge 0$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$- сходится при некотором $\alpha>2$. Положим, что $f(x)=O\left(e^{-x^\beta}\right),x\to\infty$ для некоторого $\beta>\frac{1}{\alpha}$. Доказать, что $a_n=0$.

(Источник)

Олимпиада Швейцера

[sup]

Подозрительная формулировка.
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$- сходится при некотором $\alpha>2$, то уж заведомо сходится и при бОльших $\alpha$.
А значит условие "для некоторого $\beta > 1/ \alpha$" можно заменить на "для некоторого $\beta > 0$". Т.е. никакой связи между $\alpha$ и $\beta$ нет.

[xmaister]

(Оффтоп)

Может я неправильно передал смысл задачи... На всякий случай, взята отсюда

[Dave]

Перевод правильный, а вот исходная формулировка... Не понятно, для чего вообще дано то, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ сходится при некотором $\alpha>2$. Ведь если функция $f(x)$ определена хотя бы при одном $x$ (а по идее это так, раз утверждается, что $f(x)=O\left(e^{-x^\beta}\right),x\to\infty$), то тогда $\lim\limits_{n \to \infty} {\frac {|a_n|} {x+n^2}}=0$, значит $\lim\limits_{n \to \infty} {\frac {|a_n|} {n^2}}=0$, и отсюда уже следует, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ сходится при любом $\alpha > 3$.

[xmaister]

Dave, я что-то туплю. Разве $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ не может сходится при $2<\alpha <3$?

[Dave]

xmaister в сообщении #537316 писал(а):

Dave, я что-то туплю. Разве $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ не может сходится при $2<\alpha <3$?

Кто сказал, что не может? Очень даже может. Я имел ввиду, что при $\alpha>3$ это автоматически следует из того, что $f(x)$ вообще хоть где-то определена. А раз нам не сказано, что $\alpha \leqslant 3$, то толку от условия "$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ при некотором $\alpha > 2$" нет никакого. Как справедливо отметил sup, формулировка подозрительная. Недаром на http://www.artofproblemsolving.com за эту задачу уже больше трёх лет никто не брался. Если бы было хотя бы дано, что ряд, определяющий $f(x)$, сходится абсолютно (а это эквивалентно условию конечности $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ при $\alpha = 2$), то это бы увеличило желание решать эту задачу .

[xmaister]

Dave в сообщении #537524 писал(а):

толку от условия "$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ при некотором $\alpha > 2$" нет никакого

Не понял, почему? И ещё вопрос: будет ли существовать наименьшее $\alpha$ при котором $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ сходится? Может рассмотреть какой-нибудь частный случай для начала, например $\{a_n\}$- не ограничена?

[Dave]

xmaister в сообщении #537544 писал(а):

Dave в сообщении #537524 писал(а):

толку от условия "$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ при некотором $\alpha > 2$" нет никакого

Не понял, почему?

Пусть функция $f(x)$ определена хотя бы при одном $x$. Тогда при этом $x$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{x+n^2}$ сходится. Значит, по необходимому условию сходимости рядов (любой сходимости, в т.ч. условной, которая, по идее, подразумевается здесь), член этого ряда стремится к нулю, т.е. $\frac{a_n}{x+n^2} \to 0$ при $n \to \infty$, откуда заключаем, что и $\frac{|a_n|}{x+n^2} \to 0$ и $\frac{|a_n|}{n^2} \to 0$ при $n \to \infty$, т.к. $\frac {x+n^2} {n^2} \to 1$, каков бы ни был $x$. Значит, начиная с некоторого номера $n_0$, $\frac{|a_n|}{n^2} < 1$, а ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} {\frac 1 {n^{\gamma}}}$, как известно, сходится при $\gamma>1$, значит, т.к. $\frac{|a_n|}{n^{2+\gamma}}<\frac 1 {n^{\gamma}}$ при $n>n_0$, то и ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} {\frac{|a_n|}{n^{2+\gamma}}}$ сходится. Так зачем нам то, что дано в условии, если мы это и так можем получить?

xmaister в сообщении #537544 писал(а):

И ещё вопрос: будет ли существовать наименьшее $\alpha$ при котором $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|n^{-\alpha}$ сходится?

Оно-то существовать будет, но в условии - ни слова о том, что указанное $\alpha$ - минимальное, для которого выполняется условие сходимости ряда.

xmaister в сообщении #537544 писал(а):

Может рассмотреть какой-нибудь частный случай для начала, например $\{a_n\}$- не ограничена?

В неограниченности $\{a_n\}$ как раз и проблема. Лучше уж тогда когда она, наоборот, ограничена.

[sup]

Есть вариант, что это просто "корявая" формулировка. Может быть имеется в виду представление мероморфной функции главными частями её полюсов (теорема Коши). Тогда, возможно, речь идет о мероморфной функции с простыми полюсами в точках $z=-n^2$ . В этих точках главная часть $f(z)$ имеет вид $\frac {a_n}{z+n^2}$. Теперь уже можно говорить о сходимости ряда $\sum \frac {|a_n|}{n^{\alpha}}$, для некоторого $\alpha$.
Если действительно используется представление из теоремы Коши, то без потери общности, можно считать что $\alpha = 0$.
Действительно, легко показать, что $f(z)$ растет не быстрее полинома от $z$ вне "малых" окрестностей полюсов. Отсюда уже можно получить, что $f(z)$ имеет бесконечное количество нулей. В самом деле, функция $g(z)=\frac {f(z)\sin(\pi \sqrt{-z})}{\sqrt{-z}}$ - целая, порядка $1/2$, а значит имеет бесконечное количество нулей. И вот теперь можно перейти к функции $F(z)=\frac {f(z)}{(z-s_1)(z-s_2)(z-s_3)...}$, где $s_1,s_2, ...$ - нули $f(z)$. Легко видеть что вместо коэффициента $a_n$ получится $\frac {a_n}{(s_1+n^2)(s_2+n^2)(s_3+n^2)...}$
Может что-то такое имелось в виду. Тогда можно говорить о произвольном $\beta >0$. В связи с этим, любопытно отметить разложение
$\frac {1}{\sin z} = \frac {1}{z} +\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n 2z}{z^2-\pi^2n^2}$