Эллипсоид

[kopern1k]

Столкнулся с такой задачей:
"В евклидовом пространстве $R^3$ задан эллипсоид с главными полуосями $a,b,c$. Вокруг него описан прямоугольный параллелипипед(так, что эллипсоид касается каждой из граней параллелипипеда). Найти длину главной диагонали."

Понятно, что если каждая грань касается с полуосью, то тогда стороны равны $2a, 2b, 2c$ и задача проста. Но вот если в другой точке, то, видимо надо решать через уравнение эллипсоида. Но пока что я не смог реализовать этот способ.

Возможно скоро получу похожую задачу на олимпиаде, поэтому буду признателен за любую помощь.

-- 08.02.2012, 18:37 --

Я тут подумал, что центры эллипсоида и параллелипипеда должны совпадать. Как вы думаете?

[gris]

Из соображений симметрии должны совпадать. Касание возможно при любом повороте. Наверное, длина диагонали является инвариантом. Кстати, это диаметр описанной вокруг параллелепипеда сферы

[arseniiv]

gris в сообщении #536439 писал(а):

Наверное, длина диагонали является инвариантом.

Кстати, это можно проверить в двумерном случае эллипса и прямоугольника. Если не выполнится, то в трёхмерии уж точно не выполнится.

P. S. Ага, у прямоугольника, описанного вокруг эллипса, инвариант.

[kopern1k]

То есть получается, что диагональ равна $2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ?

[arseniiv]

Ага.

[kopern1k]

А как доказать, что диагональ- инвариант?

[Dave]

Доказательство для пространства любой размерности. Пусть в $\mathbb R^n$ задан эллипсоид с главными полуосями $a_1, a_2, \dots, a_n$. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпадало с центром эллипсоида, а оси координат были направлены по осям эллипсоида. Тогда уравнение эллипсоида имеет вид

$$\frac {x_1^2} {a_1^2} + \frac {x_2^2} {a_2^2} + \dots + \frac {x_n^2} {a_n^2} = 1 \eqno(1)$$

Выберем теперь ортонормированный базис $\vec {b_1}, \vec {b_2}, \dots, \vec {b_n}$ так, чтобы вектор $\vec {b_i}$ был ортогонален $i$-й паре граней параллелепипеда. Пусть $\vec {b_i} = (b_{i1},b_{i2},\dots,b_{in})$, $B=(b_{ij})$ - матрица координат этого базиса.
В двух точках, в которых $i$-я пара параллельных граней параллелепипеда касается эллипсоида, нормаль к поверхности эллипсоида будет ортогональна соответствующей грани, а значит коллинеарна $\vec {b_i}$. С другой стороны, нормаль направлена по градиенту левой части $(1)$ в соответствующей точке. Значит если $x_i =(x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{in})$ - точка касания, то $\left( \frac {x_{i1}} {a_1^2}, \frac {x_{i2}} {a_2^2}, \dots, \frac {x_{in}} {a_n^2} \right) = k_i (b_{i1},b_{i2},\dots,b_{in})$ для некоторого $k_i$. Отсюда

$$x_{ij}=k_ib_{ij}a_j^2 \eqno(2)$$

Подставив в $(1)$, найдём: $k_i=\pm \frac 1 {\sqrt {S_i}}$, где $S_i=\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}^2 {a_j^2}$. Умножив скалярно вектор $\vec {x_i}$ на $\vec {b_i}$, получим, в силу $\| \vec {b_i} \| = 1$, половину $i$-го ребра параллелепипеда (с точностью до знака). Из $(2)$ следует, что это скалярное произведение равно $k_iS_i=\pm \sqrt {S_i}$. Значит квадрат $i$-го ребра равен $4S_i$, стало быть квадрат главной диагонали параллелепипеда равен

$$4\sum\limits_{i=1}^n {S_i} = 4\sum\limits_{i=1}^n {\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}^2 {a_j^2}}=4\sum\limits_{j=1}^n {a_j^2 \sum\limits_{i=1}^n {b_{ij}^2}} \eqno (3)$$

Из ортонормированности базиса $(\vec {b_i})$ следует, что $BB^T=E$, откуда $B^TB=E$. Расписывая последнее равенство покоординатно для $j$-го элемента диагонали результата, получим $\sum\limits_{i=1}^n {b_{ij}^2}=1$ при каждом $j$. А это означает, что сумма в $(3)$ равна $4\sum\limits_{j=1}^n {a_j^2}$ - диагональ параллелепипеда не зависит от направления его рёбер, а зависит только от эллипсоида и всегда равна

$$2 \sqrt {a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}.$$

[kopern1k]

Красиво

[Eno.tik]

Здравствуйте! Можете, пожалуйста пояснить, как была получена формула, из которой следует формула 2?
Заранее спасибо за ответ