Помогите решить задачки по теории групп

[bmflattrix]

Вот пытаюсь решить задачки и есть некие трудности в решении, записал свои решения, правильно?

1. Найти число инверсий в последовательности:
$1,3,5,...,99,100,98,96,...,2$
Мой ход решения: воспользуемся формулой $n(n-1)\cdot0.5$
2. Пусть phi:$G-H$ - гомоморфизм групп и пусть $a$ элемент порядка 12 , принадлежащий группе $G$.
Что можно сказать о порядке элемента $phi(a)$?
3. В группе ${Z20,+}$выбраны ненулевые элементы взимно простые с 20 ( думаю что: 1,3,5,7,9,11,13,17,19) Показать, что они образуют группу по умножению. Является ли эта группа циклической?
Мой ход решения: ${1,3,5,7,9,11,13,17,19}$ образуют группу по умножению т.к. - есть $1$, есть обратный элемент, и каждый элемент можно получить путем умножения на $3$. А циклической группа является в силу того что после n-го умножения на 3 элементы начнут повторяться. (т.е. после $3^n$ - где$ n$ определенное значение)
4. Показать, что если идеал содержит элемент $a$,y которого есть обратный, то идеал совпадает со всем кольцом. Вывести отсюда, что в поле нет нетривиальных идеалов.
Мой ход решения: Пусть $1$ принадлежит $K$. Пусть $I$ - идеал кольца $K$. $a$ принадлежит $I$. $-a\cdot a=e$ (т.е. единичный элемент). 1 в $I$ и 1 в К следовательно $I=K$
5. Определить кол-во элементов в фактор-кольце $Z5[x]$/$x^3+x^2+n$. При каких n = 0,1,2,3,4 фактор кольцо будет полем?
Мой ход решения: Т.к. у нас $Z5 = {0,1,2,3,4} $=> что $x^3$ мы можем выбрать 5-ю различными способами, $x^2$ тоже 5-ю способами и n - тоже 5-ю способами, следовательно количество элементов $5\cdot 5\cdot 5 $= 625;
Полем является если многочлен приводим, т.е. есть корень, проверям при $n=0$ и возьмем коэф. при $x^3$ и $x^2$ тоже 0 следовательно получается $0$, значит при $n=0$ поле
так?

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Не оформлены формулы и нет собственных попыток решения. "Некоторые трудности в решении" не указаны.