Если суммировать ответ в двух словах, то: напишите уравнение Киллинга и посчитайте. Если более развернуто, то:
Во-первых, понимаете ли вы, что значат все буквы в вашей формуле? Если да, то почему вы складываете координаты и 1-формы? Вы предоставляете право исправить очепятки участникам форума? :))) Также для уменьшения путаницы здесь нужно отличать верхние и нижние индексы. Получается:

Что эта формула значит? Вы вероятно знаете, что такое связность в главном расслоении. Там форма связности принимает значения в алгебре Ли, т.е. в касательном пространстве слоя. Здесь расслоение более общее. После того как мы правильно расставили индексы и перестали складывать формы с числами, мы видим, что форма связности принимает значения в касательном пространстве слоя. Что это такое? Как вы знаете, в главном расслоении форма связности задает горизонтальные подпространства в касательном пространстве расслоения, трансверсальные к касательным пространствам слоя. Короче говоря, связность нужна для того, чтобы определять горизонтальные векторы и т.о. параллельный перенос. В частности, если у вас есть вектор в расслоении, то вы можете его спроецировать на базу, т.к. у вас есть отображение проекции, а векторы едут в прямом направлении. Для этого связность не нужна. Теперь хотим наоборот: есть вектор на базе, хотим поднять его в расслоение, т.е. найти такой вектор в расслоении, который в проекции будет давать этот наш вектор на базе. Ясно, что это можно сделать многими способами. В локальной карте можно добавлять любой вектор, касательный к слою, и проекция не изменится. Поэтому тут нужна связность, она как раз и задает горизонтальные векторы и устраняет эту неопределенность.
Что означает ваша формула? Во-первых, в ней предполагается, что выбрана тривиализация, т.е. локально расслоение представлено как прямое произведение

. При этом база вкладывается не как

, а как-то криво, а как именно -- определяется связностью. Подставим в метрику вектор, лежащий в слое, т.е.

, получим

, т.е. он действительно касателен к слою (длина вычисляется с помощью метрики слоя). Теперь подставим вектор, который в нашей локальной тривиализации лежит в базе, т.е.

, получим

. Видим, что наша формула предполагает, что этот вектор не горизонтален, т.к. в вычисление длины его входит метрика слоя. А какой вектор наша связность будет считать горизонтальным? Такой, что

. Т.е. форма связности говорит нам, что в нашей тривиализации к вектору на базе нужно добавить

, чтобы получить вектор, горизонтальный в расслоении. Это нужно понимать так, что мы двигаемся в расслоении вдоль базы, а слой сдвигается. Кстати, формой связности в случае главного расслоения и более общего расслоения обычно называют форму в самом расслоении, а не на базе. В нашей тривиализации полная форма связности будет

, и тогда горизонтальные векторы определяются так же, как и в главном расслоении, а именно как

, но это так, к слову.
Теперь можно поговорить о том, как поднимать/опускать изометрии. Надо сказать, что ответа я не знаю. Ваше первое утверждение: изометрия метрики

будет изометрией метрики

. Это, кажется, не всегда верно. Если вы поднимете векторное поле в расслоение так, что

, то это даже не будет правильно преобразовываться между картами. Поэтому поднимать надо, например, в горизонтальное поле

. Будет ли оно изометрией? У вас есть явное выражение для метрики

. Напишите для нее уравнение для вектора Киллинга и проверьте. Там есть кусок, который просто уравнение киллинга для базы, и есть много других кусков. Вообще говоря, изометрии не получится. Там вываливается уравнение на связность, которое, возможно, означает нулевую кривизну, и вот если оно выполняется, то есть шанс, что это изометрия. Соответственно и наоборот, если взять просто проекцию на базу векторного поля произвольной изометрии в расслоении, то изометрии базы не получится. Опять же, поэкспериментируйте с уравнением киллинга. Если изометрия горизонтальна, то выпадает опять условие на связность. Возможно, это все будет проще делать в конкретном примере, который вам нужен.