Неравенства

[xmaister]

1) Доказать, что для любой последовательности $\{a_n\}$, такой что $a_n>0, n=1,2,\ldots$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$- сходится. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\ldots a_n)^{\frac1{n}}<e\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$
2)Доказать, что для любого $\varepsilon >0$ существует последовательность $\{a_n\}$, такая что $a_n>0,n=1,2,\ldots$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$- сходится для которой $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\ldots a_n)^{\frac1{n}}>(e-\varepsilon)\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$

[arqady]

Пойа нашёл для этого очень красивое доказательство.

[Руст]

Задача решается простым переходом к $a_n=\frac{b_n}{n}$, тогда $\sqrt[n]{a_1...a_n}=\sqrt{b_1...b_n}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$, откуда вылазит $e$.

[sergei1961]

Неравенство Карлемана-бесконечная тема, связанная практически совсеми другими неравенствами.

[xmaister]

arqady, а ссылку можно?

[sergei1961]

Книга Пойа, конечно.

[xmaister]

А как насчет второй задачи?

[Руст]

Берите $a_n=\frac 1n,n<N, a_n=0,n>=N.$ Чем больше $N$ тем с большей точностью отношение левой части к правой стремится к е.