Задача на уравнения Лагранжа

[E.L.Xenu]

Всем привет.
Помогите пожалуйста решить простенькую задачу, а то очень надо, а сам не очень шарю.

Выписать лагранжиан и уравнения Лагранжа плоского математического маятника массы m, подвешенного на пружине жесткости k. Разложить лагранжиан в окрестности нижнего положения равновесия до квадратичных членов. Получить линеаризованные уравнения Лагранжа. Найти нормальные моды колебаний, определить их частоты.

Изменил название темы на более содержательное и переместил в механику
В будущем делайте это сами // Аурелиано

Добавлено спустя 22 минуты 15 секунд:

Re: Задача на уравнения Лагранжа

E.L.Xenu писал(а):

Изменил название темы на более содержательное и переместил в механику
В будущем делайте это сами // Аурелиано

Лучше решить бы помог

[Антипка]

Ну а в чём сложность-то, или ты хочешь, чтобы мы тут за тебя решили? Нет уж, сделать тебе придется самому, ну а мы - поможем.

Итак, берешь, скажем вот эту книгу:
http://lib.mexmat.ru/books/2820, и внимательно читаешь страницы 268-277. Там все объяснено вполне доходчиво. Пойдем по пунктам:

0. Придется ввести в рассмотрение дополнительный параметр - длину недеформированной пружины $l_0$.

1. Надо выбрать обобщенные координаты. Предлагаю в качестве таковых использовать угол отклонения маятника от вертикали $\varphi$ и удлинение пружины $\delta$.

2. Далее тебе надо выразить кинетическую энергию системы через обобщенные координаты и их производные. Очень удобно рассматривать 2 компоненты скорости - радиальную проекцию, целиком обусловленную деформацией пружины, и касательную, целиком обусловленную качанием маятника. Получаем:
$v_n=\dot\delta$
$v_\tau=(l_0+\delta )\dot\varphi$
Отсюда находим кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и их производных:

$T=\frac{m}{2}(v_n^2+v_\tau^2)=\frac{m}{2}(\dot\delta^2+(l_0+\delta)^2 \dot\varphi^2)$

Дальше - сам.

3. Далее тебе надо выразить потенциальную энергию системы как функцию обобщенных координат. Очевидно, потенциальная энергия здесь складывается из потенциальной энергии груза в поле силы тяжести ($\Pi _1$) и потенциальной энергии деформированной пружины ($\Pi _2$). Скрупулёзно и внимательно выписываешь их, а затем находишь полную потенциальную энергию системы: $\Pi=\Pi_1+\Pi_2$.

4. Находишь функцию Лагранжа, она же - лагранжиан, она же - кинетический потенциал:

$L=T-\Pi$

5. Далее составляешь уравнения Лагранжа второго рода:

$\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial\dot\varphi}}-\frac{{\partial L}}{{\partial\varphi}}=0$
$\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial\dot\delta}}-\frac{{\partial L}}{{\partial\delta}}=0$

6. Если к этому моменту еще не станет ясно, что делать дальше, постишь сюда, что получилось, а мы помогаем. Да, по поводу TeX'а - я в нём совершенно не разбираюсь, а формулки генерю MathType'ом - это чтобы ты не пугался технической стороны проблемы.

[E.L.Xenu]

Спасибо огромное!