Решаема ли задача?

[svv]

Вы, пожалуйста, просто скажите: вот они купили $N$ мандаринок, и, когда попробовали разложить по $m$ штук в пакет, то на последний пакет набралось только $m-1$ штук. А если бы Насреддин незаметно добавил одну мандаринку, то чем бы это раскладывание закончилось?

[Nikys]

svv
Завершилось бы тем, что всего бы осталось поровну во всех пакетах по m мандарин. Но по условию четко сказано, что они потом попробовали разложить по m-1 мандарин. Просто по условию они второй раз раскладывали ещё, и у них после второго разложения осталось m-2 мандарины, вот в чем суть. Что же, они закупили ещё раз?

[svv]

Nikys писал(а):

Завершилось бы тем, что всего бы осталось поровну во всех пакетах по m мандарин.

Правильно! Значит, $N+1$ делится на $m$ без остатка.

А теперь следующий вопрос. Когда они попытались разложить по $m-1$ мандарину, то в последней порции набралось только $m-2$ штук. И опять аналогичный вопрос: а если бы Насреддин незаметно добавил один мандарин, то это раскладывание чем бы закончилось?

P.S. Понял, в чем Ваш вопрос. Нет, они не оставшиеся мандарины раскладывали, и не закупали ещё. Когда они увидели, что по $m$ мандарин не раскладывается, они все $N$ мандарин собрали и попытались опять разбить на равные количества, но уже по $m-1$ штук.

[Nikys]

svv
И снова противоречие. Предположим, что так. Перепишите два следующих уравнения.
$k \cdot (m-1) + m-2 = N$
$k \cdot (m-2) + m-3 = N$
Следовательно,
$k \cdot (m-1) + m-2 = k \cdot (m-2) + m-3$
$k=-1$
-1 пакет как-то не соответствует истине...

[arseniiv]

А я разве не писал на прошлой странице, что все $k$ разные?..

-- Сб фев 11, 2012 04:31:05 --

Если мы добавим к $N$ единицу, увидим, что это число $N + 1$ делится на $m$, $m-1$, …, на $2$ (ну и, для порядка, на единицу). Т. е. это число может быть равно… и тогда $N$ равно…

-- Сб фев 11, 2012 04:34:13 --

(И если бы svv не упомянул Насретдина, я бы и не догадался никогда.)

[Nikys]

arseniiv
Писали, писали...
Хм...Предлагаете:
$k_1\cdot m = $N$+1$
$(k_2+1)\cdot(m-1)=$N$+1$
...
$(k_{m-1}+1)\cdot2=$N$+1$
$($N$+1)=l\cdot m!$
?

[arseniiv]

Ага!

-- Сб фев 11, 2012 05:09:04 --

Только я в условии не нашёл никаких заметок про $l$. И если нужно в ответе только одно число, то было бы, наверно, логичным выбрать $l = 1$.

[Nikys]

А оно не отсеется? Я сейчас просто поизмышляю.
Да, в условии нету, но на то она и странная несколько... Я вдобавок отправил письмо авторам, по идее, могут тоже что ответить по разъяснению условия.

-- 11.02.2012, 01:14 --

Просто кажется в плане алгоритма как-то слишком просто для задачи...

-- 11.02.2012, 01:19 --

Действительно, может быть, да и из размышлений, что девочек не бесконечно... Ладно, посмотрим...

[svv]

Nikys писал(а):

Просто кажется в плане алгоритма как-то слишком просто для задачи...

Уважаемый Nikys, Вам не угодишь...

-- Сб фев 11, 2012 13:44:21 --

Тут ещё одна фишка есть. Минимальное натуральное число, которое делится на $2,3,4,5,6$ -- это не $6!=720$, а только $2^2\cdot 3 \cdot 5=60$.
Кстати, $59$ мандаринок -- хороший ответ для данной задачи. Не слишком много, и не слишком мало.

arseniiv, наверное, в OEIS должна быть соответствующая последовательность: минимальное $>0$, делящееся на $1..n$.

[arseniiv]

svv в сообщении #537421 писал(а):

arseniiv, наверное в OEIS должна быть соответствующая последовательность: минимальное $>0$, делящееся на $1..n$.

Хорошая идея. Сейчас отрезок сгенерирую и поищу.

-- Сб фев 11, 2012 18:39:44 --

A003418

-- Сб фев 11, 2012 18:41:58 --

Кстати, в сравнении с факториалом эта последовательность бесконечно малая. Хотя немудрено.

[svv]

О! Спасибо!
Ну, вот...

Nikys

svv писал(а):

Отец оставил в наследство трем сыновьям 17 верблюдов, причем старшему завещал 1/2 наследства, среднему 1/3, а младшему 1/9. Братья чуть не перегрызли друг друга, так как 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. К счастью, мимо проезжал Насреддин на своем верблюде. Догадываетесь, как он разрешил ситуацию?

Ну, а дальше события разворачивались так. Насреддин добавил своего верблюда, получилось 18 верблюдов. От этого количества он взял
1/2, т.е. 9 верблюдов, и дал старшему,
1/3, т.е. 6 верблюдов -- дал среднему, и
1/9, т.е. 2 верблюда -- дал младшему.
9+6+2=17. Остался один верблюд -- Насреддина. Он сел на него и уехал.

Спасибо venco за напомненную сказку-притчу-задачу.

[Nikys]

svv
Да, я уже понял это) Составитель задачи почти сразу ответил, что может ответить на вопросы, но после моего сообщения молчит уже 5-й день. Поэтому буду оформлять с l=1. Не бесконечно же девок, в самом деле)