Бросание кубика, вероятность неубывающей последовательности

[Ktina]

Кубик бросают $n$ раз.
Какова вероятность получить неубывающую последовательность?

Первые 4 значения посчитала "вручную": $\frac{7}{7}, \frac{7}{12}, \frac{7}{27}, \frac{7}{72}$

Как найти производящую функцию?
Как вообще решать подобный класс задач?
(готовность думать имеется)
...

Вот...пока писала...и переводила дЫхалку...там получается каждый раз умножить на 3 и отнять 9. Но это интуитивная догадка, а существует ли какой-бы-то-ни-было общий метод для таких задач?

P. S. Вообще, очень тесты на $IQ$ напоминает...

[arseniiv]

Ktina в сообщении #535313 писал(а):

там получается каждый раз умножить на 3 и отнять 9. Но это интуитивная догадка, а существует ли какой-бы-то-ни-было общий метод для таких задач?

Индукция, что ли? Или там не так всё просто, как вы описали?

[ИСН]

Последовательность - это такая лестница. Сколькими способами k неотличимых ступенек можно раскидать по n-1 позиции, знаете?
Теперь просуммировать это по всем начальным значениям (от 1 до 6) и по всем возможным количествам ступенек (от 0 до [6 минус начальное значение]).

[alcoholist]

$$\frac{\#\{(k_1,k_2,\ldots,k_6)\,|\,k_1+k_2+\ldots+k_6=n\}}{6^n}$$

[Shadow]

Ktina в сообщении #535313 писал(а):

Как вообще решать подобный класс задач?
(готовность думать имеется)

Я например в таких случаях расписываю рекурентную функцию, смотрю тупо на числа и думаю как они получаются. Вот такие красивые числа (благоприятные исходы)
$6,21,56,126,252,462,792,1287...$
Так действительно похоже на IQ тест

[liar]

Ktina в сообщении #535313 писал(а):

Как найти производящую функцию?
Как вообще решать подобный класс задач?

Думаю нужно написать рекуррентную формулу для вероятности $P_n(k)$ неубывающей последовательности из $n$ бросков, оканчивающейся числом $k$, откуда извлекается производящая функция и искомая вероятность.

[venco]

$\binom{n+5}{5}\over6^n$

[zhoraster]

liar, устное замечание за некропостинг.

[ewert]

$C_{n+5}^5$ -- это количество способов расставить по $n+1$ позиции ступеньки разной высоты так, чтобы суммарная их высота равнялась $5=6-1$. Т.е. разбить число $5$ на $n+1$ неотрицательное слагаемое (с учётом порядка) или, что то же, разбить на $n+1$ положительное слагаемое число $5+n+1$. Т.е. $C_{n+5}^n$.