Правильный тетраэдр.

[reformator]

Опять плохое пространственное воображение не позволяет решить задачу. Хочется его развить.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ -- середина ребра $BD$. Найти синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.



Я попытался сделать проекцию. Пусть проекция точки $E$ -- это $F$. Далее я провел окружность. Иммется ввиду, что эта окружность лежит в плоскости основания (хотя по картинке - не похоже, не смог сделать понятнее).



Так вот будет ли $EG$ высотой в треугольнике $ADB$?

[EtCetera]

Задачу можно решить, вовсе не имея пространственного воображения. Для этого нужно спроецировать пространственное изображение тетраэдра на 2 плоскости: $ABC$ и плоскость, параллельную прямой $BC$ и перпендикулярную $ABC$. С помощью первой проекции легко определить длину отрезка $AF$, а длина $EF$ на второй проекции будет равна его истинной длине (очевидно). Искомый синус находим с помощью одного из известных тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике.

[reformator]

EtCetera в сообщении #535160 писал(а):

Задачу можно решить, вовсе не имея пространственного воображения. Для этого нужно спроецировать пространственное изображение тетраэдра на 2 плоскости: $ABC$ и плоскость, параллельную прямой $BC$ и перпендикулярную $ABC$. С помощью первой проекции легко определить длину отрезка $AF$, а длина $EF$ на второй проекции будет равна его истинной длине (очевидно). Искомый синус находим с помощью одного из известных тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике.

Спасибо.
В том-то и дело, что мне и это трудно сделать. Вот одна из проекций.


Пусть сторона тетраэдра будет равна единице, для простоты.

Найдем сначала $BD$ из $\Delta {BDH_2}$

$BD^2=H_2B^2+H_2D^2$

$\tg\angle {DBH_2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{H_2D}{1/2}$

$H_2D=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

$BD^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac 13$

$BD=\dfrac{1}{\sqrt 3}$

Значит $BF=\dfrac{1}{2\sqrt 3}$

Правильно?

-- 04.02.2012, 20:12 --

Цитата:

параллельную прямой $BC$ и перпендикулярную $ABC$

А вот это я и представить даже не могу...

-- 04.02.2012, 20:39 --

Чтобы не создавать много тем для развития пространственного мышления, я тогда лучше тут буду писать то, что не понятно.

В этой задаче нужно найти тангенс угла между $BB_1$ и зеленой плоскостью $AC_1B_1$



Проекция точки $B_1$ - это сама точка $B_1$, так как она уже лежит в этой плоскости.

Как найти проекцию точки $B$ на эту зеленую плоскость? У меня есть 2 варианта, но они могут быть оба -- неправильные.

[EtCetera]

Что-то я вчера Вас напрасно запутал с этими проекциями. Задачу можно решить проще.
Все, что Вы написали, разумеется, правильно.
Итак, попробуем другой вариант. Рассмотрите $\triangle ADB$ и найдите из него длину $AE$. Затем рассмотрите $\triangle DHB$ ($H$ $\text{---}$ проекция т. $D$ на плоскость $ABC$) и найдите из него длину $EF$. Наконец, из $\triangle AEF$ найдите искомый синус.
По второй задаче: у Вас, судя по всему, изображена призма, однако, не зная вид $\triangle ABC$ (основания призмы), решить задачу нельзя.

[bot]

EtCetera в сообщении #535366 писал(а):

Итак, попробуем другой вариант.

Попробуем. Любят почему-то в школе считать угол между прямой и плоскостью с помощью проекции. Мы пойдём другим путём - искомый синус будет косинусом угла между AE и перпендикуляром к плоскости. Воьмём тройку единичных векторов $a, b, c,$ соединяющих вершину D с остальными. Тогда в качестве перпендикуляра можно взять $a+b+c$, а направляющий вектор прямой - это $2a-b$. Считаем их скалярное произведение двумя способами, используя табличку скалярных произведений $aa=bb=cc=1, ab=bc=ca=\frac12$.

-- Вс фев 05, 2012 16:55:00 --

reformator в сообщении #535176 писал(а):

Как найти проекцию точки на эту зеленую плоскость?

А зачем? Лучше заменить $BB_1$ на $AA_1$ и вполне себе плоская задачка получается если основание правильное. Только разумеется должно быть задано соотношение высоты и стороны основания.

[ewert]

reformator в сообщении #535139 писал(а):

Я попытался сделать проекцию. Пусть проекция точки $E$ -- это $F$. Далее я провел окружность.

А зачем?... Ясно же, что в прямоугольном треугольнике $AEF$ катет $EF$ -- это половина высоты тетраэдра, а с гипотенузой $AE$ и вовсе всё ясно. Поэтому-то именно синус и запрашивался.

(Искомое соотношение между высотой тетраэдра и его апофемой сразу же получается из прямоугольного треугольника $DMN$, где $M$ -- основание высоты и $N$ -- середина $BC$.)

-- Вс фев 05, 2012 14:24:02 --

reformator в сообщении #535176 писал(а):

В этой задаче нужно найти тангенс угла между $BB_1$ и зеленой плоскостью $AC_1B_1$

Надо полагать, призма -- правильная. Тогда попросту рассмотрите прямоугольный треугольник $AMM_1$, где $M$ -- середина $BC$ и, соответственно, $M_1$ -- середина $B_1C_1$.