Здравствуйте.
Задание звучит следующим образом: найдите наибольшее и наименьшее значение функции
![$g(x) = -x^2+6 \ln x+4$ $g(x) = -x^2+6 \ln x+4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/8/658dc4e42386fa0f6334e7473471934982.png)
на отрезке
![$[1;e]$ $[1;e]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a8f1c9ba7dad98157178bf80a22ab9782.png)
.
Раз функция определена на закрытом интервале, то весьма вероятно, что график данной функции имеет точки с абсциссами, равными началу и концу указанного интервала. К тому же мы имеем дело с параболой, ветви которой направлены вниз. Следовательно где-то должен быть максимум функции.
Подставляем в функцию концы интервала:
![$g(1) = -(1)^2 + 6 \ln 1 + 4 = -1+4=3$ $g(1) = -(1)^2 + 6 \ln 1 + 4 = -1+4=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/8/748a6dd0f223649ef60d7061baa3e9ca82.png)
![$g(e) = -(e)^2 + 6 \ln e + 4 = -e^2 + 6\cdot1 + 4 = -e^2+10$ $g(e) = -(e)^2 + 6 \ln e + 4 = -e^2 + 6\cdot1 + 4 = -e^2+10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/8/3e83bc736cbf52e16c84b04c54711e2e82.png)
Первая производная функции:
![$g'(x) = -2x + \frac6x$ $g'(x) = -2x + \frac6x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/3/7f3fc87625df848b2480cf729776f33a82.png)
Находим локальный экстремум функции, решая уравнение
![$-2x + \frac6x = 0$ $-2x + \frac6x = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/e/aee6c378d6016639fde3bbf0d4ca45b382.png)
, корнями которого будут
![$-\sqrt3$ $-\sqrt3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/3/5339a47fb42f21a36a1059629dd8000182.png)
и
![$\sqrt3$ $\sqrt3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/5/745cbb03d0d11fb25e1caf6c8557bdf382.png)
. Для нашей функции подходит только второй корень, т.к. областью определения этой функции являются все положительные числа.
Можно проверить "выпуклость" найденного экстремума с помощью второй производной:
![$g''(x) = (-2x + \frac6x)' = -2 - \frac6{x^2}$ $g''(x) = (-2x + \frac6x)' = -2 - \frac6{x^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/0/9c0c8054534aadd0c8a938802e089f9b82.png)
![$g''(\sqrt3) = -2 - \frac6{(\sqrt3)^2} = -2-2 = -4$ $g''(\sqrt3) = -2 - \frac6{(\sqrt3)^2} = -2-2 = -4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/f/adf31b5b4fe4aa18cae2f5577f5eead082.png)
Результат - отрицательное число, поэтому это есть максимум.
Теперь найдём ординату полученного максимума:
![$g(\sqrt3) = -(\sqrt3)^2 + 6 \ln \sqrt3 + 4 = -3 + 6 \ln \sqrt3 + 4 = 6 \ln \sqrt3 + 1$ $g(\sqrt3) = -(\sqrt3)^2 + 6 \ln \sqrt3 + 4 = -3 + 6 \ln \sqrt3 + 4 = 6 \ln \sqrt3 + 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/8/54808c7fb91e34166242a75e554923db82.png)
Найденный максимум попадает в заданный интервал, следовательно наибольшим значением функции будет
![$6 \ln \sqrt3 + 1$ $6 \ln \sqrt3 + 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9af135cb133b35e0f6c63170b82d3b3882.png)
Наименьшим же значением будет похоже
![$-e^2+10$ $-e^2+10$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/7/6774a0e7e29ce2c30e99387f7e74ec9f82.png)
, т.к. судя по вычислениям,
![$g(e)$ $g(e)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/4/ff4f9f5f6601a61b04f5488b6b5e920182.png)
будет меньше, чем
![$g(1)$ $g(1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/4/a1491bcb70e045f258bd0e05fdd7f97d82.png)
Верно ли решение?