Условие ограниченности функций в свойствах кратного интеграл

[Хет Зиф]

В свойствах кратного интеграла есть пункт про то, что если две функции интегрируемы и ограничены на некотором множестве, то и их произведение и отношение интегрируемы на этом множестве, возникает вопрос а нужно ли для этих функций условие их ограниченности, или это лишнее ?

[незваный гость]

Произведение очевидным образом будет ограничено. Для отношения это утверждение (в том виде, как Вы написали) неверно: рассмотрите $f(x)=1$ и $g(x) = x$.

[Хет Зиф]

незваный гость
вопрос не в этом, а в том что нужно ли накладывать на начальные функции условия ограничености!

[Руст]

Достаточно требовать ограниченность одной из них. Для отношения f/g, это эквивалентно или интегрируемость 1/g и ограниченность f или просто ограниченность 1/g.

[Brukvalub]

Интегрируемость отношения для некоторых интегралов не спасает даже ограниченность. Например, если в единичном круге с выколотым центром взять

$$f(x,y) = 1$$

и

$$g(x,y) = (x^2 + y^2 )^2 $$

, то отношение первой функции ко второй не будет интегрироваться даже в несобственном смысле, не говоря уж о б интеграле Римана. Поэтому сначала нужно уточнить, о каком кратном интеграле идет речь ?

[Хет Зиф]

Brukvalub
я забыл уточнить что функция находящаяся в знаменателе имеет нижнюю грань модуля больше нуля
Руст
Не совсем ясно откуда берутся такие ограничения?

[Brukvalub]

В случае кратного интеграла Римана на брусе, ограниченность функции является необходимым условием ее интегрируемости. В случае более сложно устроенных множеств это уже не так, но обычно свойство ограниченности постулируют, чтобы не вдаваться в особенности строения экзотических множеств, поставляющих примеры неограниченных, но интегрируемых на них функций.

[Хет Зиф]

Brukvalub
Условие интегрируемости на брусе уже влечет за собой ограниченность. То есть в данном случаем мы можем сказать что она интегрируема и из этого уже последует ее ограниченность!
Есть множества на которых функция может быть не ограничена но тем не менее интегрируема! Так вот в данном случае интересен вопрос о рассмотрении например как раз функций которые неограниченны обе на данном множестве тем не менее по отдельности интегрируемы на нем! А может ли случиться так что уже их произведение не будет интегрируемо!??

[RIP]

По-моему, критерий Лебега звучит в случае произвольного измеримого (по Жордану) множества примерно так:
Функция интегрируема (по Риману) тогда и только тогда, когда она ограничена в некоторой $\varepsilon$-окрестности внутренности множества и почти всюду непрерывна на множестве.
Если сказал глупость, прошу прощения, подзабыл уже мат. анализ.
Из этого критерия (если он верен) следует, что для произведения требование ограниченности излишне.

[Brukvalub]

RIP указал верный критерий, доказательство которого можно прочесть в лекциях Т.П.Лукашенко, а скачать их можно здесь: http://www.mexmat.net/materials/4/.
А вот чего я так и не понял, так это того, зачем Вы, Хет Зиф, после моих слов

Цитата:

В случае кратного интеграла Римана на брусе, ограниченность функции является необходимым условием ее интегрируемости. В случае более сложно устроенных множеств это уже не так, но обычно свойство ограниченности постулируют..

мне же их разъясняете:

Цитата:

Brukvalub
Условие интегрируемости на брусе уже влечет за собой ограниченность. То есть в данном случаем мы можем сказать что она интегрируема и из этого уже последует ее ограниченность!
Есть множества на которых функция может быть не ограничена но тем не менее интегрируема!

.

[Хет Зиф]

Brukvalub
Было лишнее предложение, согласен