2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Обобщение преобразования Радона.
Сообщение03.02.2012, 23:16 
Классическое преобразование Радона представляет собой интегральное преобразование, которое сопоставляет функции интеграл от неё по заданной гиперплоскости. Существует множество обобщений этого преобразования, в частности интересно обобщение, при котором функции сопоставляется интеграл по заданной гиперповерхности (аргументом у преобразованной функции является гиперповерхность). Пусть такая поверхность задаётся уравнением $g(x) = 0$, $x \in \mathbb{R}^n$. В определении явно задается дифференциальная форма, которую будем интегрировать (умноженную на некоторый "вес" и преобразуемую функцию):
$$
   \Omega = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{\partial_{k} g}{|\nabla g|^2} dx_1 \wedge ... \wedge \overline {dx_k} \wedge ... \wedge dx_n
$$
Легко проверить, что $dg \wedge \Omega = dx$. Возникает вопрос, почему выбирается именно эта дифференциальная форма? Какие приложения к ней приводят? (Вообще откуда она может возникнуть, подскажите, товарищи, близкие с дифференциальной и интегральной геометрией). Чем она так хороша?

 
 
 
 Re: Обобщение преобразования Радона.
Сообщение12.02.2012, 12:25 
Достаточно интересная штука, оказывается, эта форма. У неё есть своё название: форма Гельфанда-Лере. Обозначается она как производная: $\frac{dx}{dg}$. Встречается она много где, например в обобщении теоремы Фубини на случай представления пространства в виде расслоения на гиперповерхности. От формы объёма отличается лишь множителем $\frac{1}{| \nabla g| }$.

 
 
 
 Re: Обобщение преобразования Радона.
Сообщение10.11.2012, 20:45 
Интересно, нашли ли Вы приложения, которые приводят к такой форме?

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group