Вычислить спектр оператора в L^2

[MASHA67]

Вычислить спектр следующего оператора в $L^2 [0,1]$: $ Ax(t) = (\int_{0}^{1}s^2x(s)ds)t^3$ .

[hippie]

Ответ: $\{0;\ \frac 16 \}.$

Спектр ищется по стандартной схеме, как у любого интегрального оператора с вырожденным ядром.

[ewert]

Это -- конечномерный оператор. И, следовательно, его спектр (за исключением нуля) сводится к набору собственных чисел. Т.е. надо просто свести его действие к умножению на соотв. матрицу. Но: поскольку он ещё и единичного ранга (т.е множество его значений одномерно) -- достаточно всего-навсего посчитать собственное число, отвечающее единственно возможной и уже заранее известной собственной функции.

[MASHA67]

hippie в сообщении #534632 писал(а):

Ответ: $\{0;\ \frac 16 \}.$

Спектр ищется по стандартной схеме, как у любого интегрального оператора с вырожденным ядром.

А как вы получили данный спектр?

[alcoholist]

MASHA67 в сообщении #534668 писал(а):

А как вы получили данный спектр?

$Ax=\lambda x$

[MASHA67]

ewert в сообщении #534654 писал(а):

Это -- конечномерный оператор. И, следовательно, его спектр (за исключением нуля) сводится к набору собственных чисел. Т.е. надо просто свести его действие к умножению на соотв. матрицу. Но: поскольку он ещё и единичного ранга (т.е множество его значений одномерно) -- достаточно всего-навсего посчитать собственное число, отвечающее единственно возможной и уже заранее известной собственной функции.

Что-то никак не пойму , как вычислить у данного оператора собственные значения . Спектр - это множество таких $\lambda$ , что оператор $A-\lambdaI$ является обратным. Как правильно вычислить обратный оператор?

[alcoholist]

MASHA67 в сообщении #534674 писал(а):

$A-\lambda I$ является обратным необратим

[MASHA67]

$Ax=\lambda x$
Т.е. $Ax(t)-\lambda x(t)=((\int_{0}^{1}s^2x(s)ds)t^3-\lambda)x(t)$?

[alcoholist]

ну, будьте проще:)

MASHA67 в сообщении #534678 писал(а):

Т.е. $Ax(t)-\lambda x(t)\ne((\int_{0}^{1}s^2x(s)ds)t^3-\lambda)x(t)$

[MASHA67]

А как понять из этого неравенства чему равно $\lambda$?

[hippie]

У Вас интегральный оператор с вырожденным ядром.
У любого уважающего себя интегрального оператора с вырожденным ядром 0 лежит в спектре. (Поскольку образ конечномерен, то ядро — невырождено.)
Остальные точки спектра являются собственными числами оператора. (Это верно для любого оператора с конечномерным образом, в частности для интегрального оператора с вырожденным ядром.)

В Вашем случае:
$Ax(t)=\int\limits_0^1 s^2 t^3 x(s) \, ds = t^3 \cdot \int\limits_0^1 s^2 x(s) \, ds = const\cdot t^3.$

Следовательно, собственные функции с ненулевым собственным значением имеют вид $const\cdot t^3.$
Таким образом, остаётся решить "уравнение"
$\lambda\cdot t^3 = t^3 \cdot \int\limits_0^1 s^2 s^3 \, ds.$
Надеюсь, Вы сможете решить его самостоятельно.

[MASHA67]

hippie в сообщении #534632 писал(а):

Ответ: $\{0;\ \frac 16 \}.$

А Вы не могли бы объяснить почему ноль лежит в спектре? Только не через вырожденное ядро.
Я нашла теорему, в доказательстве которой говорится, что если бы ноль не лежал в спектре, то нашелся бы единичный оператор который был бы компактен. А это возможно только при размерности пространства меньше бесконечности. И тогда меня попросили доказать что данный оператор компактен.....

[hippie]

Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора равна размерности пространства, на котором он задан.
Образ данного оператора одномерный (равен $span\{t^3\}$). Пространство, на котором он задан, бесконечномерное. Следовательно ядро — бесконечномерное. Таким образом, 0 не просто лежит в спектре, а является собственным числом (причём бесконечной кратности).
При желании Вы легко можете найти функцию лежащую в ядре, т.е. являющуюся собственной функцией с собственным числом 0.

[ewert]

MASHA67 в сообщении #536000 писал(а):

И тогда меня попросили доказать что данный оператор компактен.....

Этого не надо доказывать: он конечномерен и уж тем более компактен. Просто потому, что его образ конечномерен, а в любом конечномерном пространстве любой шар предкомпактен.

А у любого компактного оператора ноль, да, является точкой спектра (но не обязательно собственным числом). Это известный факт, и не очень сложный (хотя, кажется, и не вполне тривиальный). Только здесь он не нужен: здесь-то очевидно, что ноль является собственным числом -- достаточно взять в качестве собственной любую функцию, ортогональную к $t^2$.

-- Вт фев 07, 2012 15:18:00 --

hippie в сообщении #534632 писал(а):

, как у любого интегрального оператора с вырожденным ядром.

hippie в сообщении #536016 писал(а):

Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора

Так что слово "ядро" в этой задаче лучше бы вообще не употреблять, во избежание путаницы.