полупрямое произведение групп

[r2d2study]

Я разобрал внешнее определение полупрямого произведения:
Пытаюсь разобраться со следующим утверждением:
группа $G$ изоморфна полупрямому произведению $A \underset{\varphi}{\rightthreetimes}B$, тогда и только тогда, когда она содержит такие подгруппы $A_1, B_1$, чтo:
1) $A_1\simeq A, B_1 \simeq B$,
2) $B_1 \triangleleft G$,
3) $B_1 \cap A_1 =\{ 1\}$,
4) $G=AB$.

Если изоморфна, то все это очевидно выполняется. А обратно?

Ведь в группе G умножение задано: $a_1 b_1 \cdot a_2 b_2 = a_1 a_2 (a_{2}^{-1} b_1 a_2) b_2$
А в полупрямом произведении: $a_1 b_1 \cdot a_2 b_2 = a_1 a_2( \varphi (a_2)(b_1) )b_2$

Я не понимаю, для любого $\varphi : A \rightarrow Aut B$ эти две группы будут изоморфны? И как это показать? Спасибо.

[Yakov]

Группа разлагается в полупрямое произведение, если есть такое действие $\varphi$ группы $A$ на группе $B$. И этот гомоморфизм входит в определение полупрямого произведения. Если взять другой гомоморфизм $\varphi$, группа будет полупрямым произведением, но уже не обязательно изоморфным первому.