Уравнение в целых числах (на сей раз, решаемое)

[Ktina]

Решить уравнение $19^n+2888=m^2$ в целых числах $n$ и $m$

[gris]

Знатоку таблицы квадратов один корень просто бросается в глаза. А вот что там дальше?

[hippie]

Ответ: $m=\pm 57;\ n=2.$

По остатку от деления на 4 $:\quad n$ — чётное. Обозначим $k=\frac n2.$
Уравнение переписывается в виде $(m+19^k)(m-19^k) = 2888.$ Обозначив $x = \frac {m-19^k}2,$ перепишем уравнение в виде $x\cdot(x+19^k) = 722 = 2\cdot 19^2.$ Поскольку $x$ и $x+19^k$ одновременно либо делятся либо не делятся на 19, то $x$ кратно 19. Откуда единственный положительный вариант: $x=19;\ x+19^k=2\cdot19;$ и единственный отрицательный вариант: $x=-2\cdot19;\ x+19^k=-19.$

[Ktina]

hippie в сообщении #534482 писал(а):

Ответ: $m=\pm 57;\ n=2.$

По остатку от деления на 4 $:\quad n$ — чётное. Обозначим $k=\frac n2.$
Уравнение переписывается в виде $(m+19^k)(m-19^k) = 2888.$ Обозначив $x = \frac {m-19^k}2,$ перепишем уравнение в виде $x\cdot(x+19^k) = 722 = 2\cdot 19^2.$ Поскольку $x$ и $x+19^k$ одновременно либо делятся либо не делятся на 19, то $x$ кратно 19. Откуда единственный положительный вариант: $x=19;\ x+19^k=2\cdot19;$ и единственный отрицательный вариант: $x=-2\cdot19;\ x+19^k=-19.$

А я сделала так: разложила 2888 на множители - 2888=19*19*2*2*2.
Поэтому при $n>2$ можно поделить всё уравнение на 19*19=361, тогда имеем $19^k+8=a^2$, но квадраты не дают остаток 8 при делении на 19. Осталость проветрить только три первые степени, это уже легко.

Арифмост рулит!

[Ktina]

При каких целых неотрицательных $n$ сумма всех натуральных делителей (включая единичку и само число) числа $2^n+65$ является нечётным числом?

[Руст]

$n=0$ не годится, соответственно $2^n+65=x^2$. Так как 2 не квадратичный вычет по модулю 5, число $n$ должно быть четным. Соответственно $65=(x-2^k)(x+2^k),n=2k$. Имеется только два разложения 65 на множители и оба годятся $n=4,10.$

[maxal]

Ktina, объединяйте однородные задачи в одну тему.