Гамильтонова редукция и геометрия

[Bulinator]

Гамильтонова редукция
$\hline$

Пусть на $2n$-мерном(симплектическом) многообразии $M$ задан Гамильтониан $H(p,q)$ и какой-нибудь интеграл движения $I$: $\left\{H,I\right\}=0$. Существует такое каноническое преобразование координат

$$p'_i= p'_i(p,q),\quad q'_i=q'_i(p,q), \quad I=I(p,q),\varphi=\varphi(p,q),\quad i=1,\ldots, n-1,$$

что $H(p,q)=H(p',q',I),\quad\text{e.g.}\quad \frac{\partial H}{\partial \varphi}=0,$
где $\varphi$- новая переменная сопряженная новому импульсу $I$(который совпадает с интегралом движения).
Скобка Пуассона любых двух величин $f$ и $g$($f,g\neq f,g(\varphi)$) зависит от новых координат $(p',q')$ и импульса $I$. Т.к. последний сохраняется, мы можем зафиксировать его значение равным константе $s$. Новый траектории нового Гамильтониана будут проекциями тректории старого при заданном граничном условии $I=s$. Процедура описанная выше называется Гамильтоновой редукцией а новый $2n-2$-мерный Гамильтониан $H_s=H(p',q',s)$-редуцированным Гамильтонианом.

Вопрос
$\hline$

Пусть поверхность уровня $M_{h}\subset M$ задается уравнением $H=h=Const, \quad h\in \mathbb{R}$.
Что умного можно сказать про поверхность уровня $M_h^s=\{H_s=h=Const\}$?
Например, что существует расслоение $M_h/T^2\simeq M_h^s$.

-- Чт фев 02, 2012 14:51:53 --

Вопрос 2
$\hline$

Пусть кроме $I$ существуют $k$($k<n$) интегралов движения $J_\alpha$, которые, однако, не коммутируют с $I$. Как определить, существует ли функция $f(J)$ коммутирующая с $I$ и сколько таких функционально независимых функций?

P.S.
Не знаю важно ли, но у меня интегралы движения $J_\alpha$ образуют алгебру Ли:$\{J_\alpha,J_\beta\}=C_{\alpha\beta\gamma}J_\gamma$.

[scwec]

Лучше всего, если Вы сами прочитаете ответы на Ваши вопросы в добротном учебнике.
В.В.Трофимов А.Т.Фоменко "Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений". стр 171 и далее(некоммутативное интегрирование гамильтоновых систем)
Если интегралы не образуют алгебру Ли и для общего развития
Эйзенхарт Л.П. "Непрерывные группы преобразований" стр. 338 и далее (функциональные группы).

[Bulinator]

scwec
Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

Bulinator в сообщении #534130 писал(а):

Гамильтонова редукция
$\hline$

Пусть на $2n$-мерном(симплектическом) многообразии $M$ задан Гамильтониан $H(p,q)$ и какой-нибудь интеграл движения $I$: $\left\{H,I\right\}=0$. Существует такое каноническое преобразование координат

$$p'_i= p'_i(p,q),\quad q'_i=q'_i(p,q), \quad I=I(p,q),\varphi=\varphi(p,q),\quad i=1,\ldots, n-1,$$

что $H(p,q)=H(p',q',I),\quad\text{e.g.}\quad \frac{\partial H}{\partial \varphi}=0,$
где $\varphi$- новая переменная сопряженная новому импульсу $I$(который совпадает с интегралом движения).
Скобка Пуассона любых двух величин $f$ и $g$($f,g\neq f,g(\varphi)$) зависит от новых координат $(p',q')$ и импульса $I$.

Рассмотрим систему с гамильтонианом $H=p_1^2+q_1^2+p_2q_2$ и ее первый интеграл $I=p_2q_2$.

Предъявите plz в окрестности нуля указанную Вами замену координат .

[Oleg Zubelevich]

Утверждение, которое сформулировал Bulinator неверно.

Действительно, если $I$ -- это одна из новых координат, то множества $\{I=const\}$ должны быть многообразиями. А в моем примере $\{I=0\}$ это пара пересекающихся гиперплоскостей. ТС ведь не накладывает ограничений на функцию $I$ .

В действительности, редукция производится в окрестности неособой точки первого интеграла. Это можно делать так. Если $I$ -- первый интегал системы с гамильтонианом $H$ и $\hat x$ неособая точка этого первого интеграла ($dI(\hat x)\ne 0$), то в окрестности $\hat x$ существуют канонические координаты в которых векторное поле системы с гамильтонианом $I$ имеет вид $(1,0,\ldots,0)$. (Это гамильтонова версия теоремы о выпрямлении векторного поля.) В этих новых координатах гамильтониан $H$ имеет циклическую переменную