Дисперсия интеграла от случайной функции.

[sng1]

Случайная функция $y(x)=1$, с вероятностью $x$, и $y(x)=2$, с вероятностью $1-x$, $x \in [0;1]$. Найти дисперсию $D(\int_0^x y(z) dz)$.

Я нашел матожидание $(M(\int_0^x y(z) dz))^2=(\int_0^x M(y(z)) dz)^2=(2x-x^2/2)^2$. Как найти $M((\int_0^x y(z) dz)^2)$?

[Null]

По-моему функция не интегрируемая с вероятностью 1. Но можете попробовать продифференцировать по x это матожидание квадрата интеграла.

[sng1]

Продифференцировать по $x$ матожидание квадрата интеграла у меня не получается. Моделирование в Matlab дает $M((\int_0^x y(z) dz)^2)= 4x-1.5x^2$. Можно ли этот результат получить аналитически?

[sng1]

Промоделировал с ошибкой. Не читать.

[Null]

$\frac{d}{dx}(M((\int_0^x y(z) dz)^2))=M(\frac{d}{dx}((\int_0^x y(z) dz)^2))=M(2y(x)(\int_0^x y(z) dz))=2M(y(x))M(\int_0^x y(z) dz)$
Так можно? xотя с несуществующим объектом можно делать что угодно.

[sng1]

В последнем равенстве матожидание произведения равно произведению матожиданий, что требует обоснования. Возможно даже если интеграл не существует в смысле сходимости по вероятности, возможно он существует в смысле сходимости в среднем?

[PAV]

sng1
в каком смысле Вы понимаете интеграл от случайного процесса с независимыми значениями в каждой точке?

-- Чт фев 02, 2012 22:33:08 --

Математическое определение приведите, пожалуйста.

[Хорхе]

Условие сформулировано некорректно. Непонятно, как связаны распределения значений в разных точках.

Если они независимы - то такая функция неизмерима.

Если они зависимы - то как? Например, под условие подойдет такая случайная функция: $y(x) = 1+1_{[0,\xi]}(x)$, где $\xi$ равномерно распределена на $[0,1]$.

[sng1]

Глубоко в теорию не погружался, но возможно интеграл можно попробовать определить как предел интегральных сумм в (Венцель А.Д., Курс теории случайных процессов, Наука.Физматлит, 1996, стр.45). По крайней мере при моделировании в Matlab, я делаю что-то похожее, и пытаюсь уменьшая шаг разбиения и увеличивая число реализаций по которым усредняю выявить закономерность.

[Хорхе]

Как предел интегральных сумм точно не получится, так как по Риману функция тем более не интегрируема. Кстати, Вы до сих пор не ответили на вопрос о совместном распределении - а оно для ответа существенно.

[sng1]

Похоже, что в непрерывном случае задача требует корректной постановки. Привожу постановку задачи в дискретном случае. Дано $K \in \mathbb{N}$. $p_1(j):=j/K, \; p_2(j):=1-p_1(j)$, $ m(j):=2-j/K$, $ m_2(j):=4-3j/K$, $ t \in \mathbb{N}, \; t \leq K, \; M(t):=\sum_{i_1=1}^2\dots\sum_{i_l=1}^2 p_{i_1}(1) \dots p_{i_t}(t) (i_1+\dots+i_t)/K $, $M_2(t):=\sum_{i_1=1}^2\dots\sum_{i_l=1}^2 p_{i_1}(1) \dots p_{i_t}(t) (i_1+\dots+i_t)^2/K^2 $. Вычислить $ M(t)$ и $M_2(t)$.

Очевидно, $M(t)=\sum_{j=1}^t m(j)/K=2t/K-t(t+1)/(2K^2)$. $M_2(t)=m_2(t)/K^2+ M_2(t-1)+2M(t-1)m(t)/K$, и т.д. Наверно за пару дней я смогу получить $M_2$ в замкнутой форме. Почему то считал, что в интегральной форме ответ получить быстрее. Признаю свою ошибку, был неправ.